谁能给我解释下导函数的意义?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 22:18:02
谁能给我解释下导函数的意义?
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拆分词条 求助编辑导函数目录
定义
基本函数的导函数
和差积商函数的导函数
复合函数的导函数
函数可导的条件
导数与函数的单调性
导数与极值
编辑本段定义
导函数的概念涉及：的对于区间（ ,）上任意点处都可导,则 在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为 的导函数,记作 .
编辑本段基本函数的导函数
C'=0(C为常数) (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q) (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (e^x)'=e^x (a^x)'=(a^x)*lna [log(a,x)]' = 1/(x*lna) [lnx]'= 1/x
编辑本段和差积商函数的导函数
[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]
编辑本段复合函数的导函数
设 y=u(t) ,t=v(x),则 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x) 例 ：y = t^2 ,t = sinx ,则y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x复合函数与其导函数
一般定义 设函数在点x.的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时,相应地函数取得增量Δy；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点x.处的导数,记为,即 , 也可记作f′(x)〡x=x.,或f′(x.). 若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数f(x)在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着f(x)的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数f(x)的导函数,记作：y'或者f′(x). 导函数的定义表达式为： 值得注意的是,导数是一个数,是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值.但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点. 几何意义 如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点.当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线. 若曲线为一函数y = f(x)的图像,那么割线PP0的斜率为： 当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,则P0T的斜率tanα为： 上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'(x0) = tanα,故导数的几何意义即曲线y = f(x)在点P0(x0,f(x0))处切线的斜率.
编辑本段函数可导的条件
如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的.函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等.这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在,它的左右极限存在且相等）推导而来： 上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数： 左导数：
右导数：
编辑本段导数与函数的单调性
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间y'>0,那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数：如果在这个区间y'