如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.(1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM;
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/12 02:36:06
如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.(1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM;
如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.
(1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM;
(2)顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值.
如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.(1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM;
(1)∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB
∵QE⊥AB,MF⊥BC ∴∠AEQ=∠MFB=90°
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形 ∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE
又∵PQ⊥MN ∴∠EQP=∠FMN
又∵∠QEP=∠MFN=90° ∴△PEQ≌△NFM.
(2)∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t
∴PA=1,PE=1-t,QE=2
由勾股定理,得PQ= =
∵△PEQ≌△NFM ∴MN=PQ=
又∵PQ⊥MN ∴S= = = t2-t+
∵0≤t≤2 ∴当t=1时,S最小值=2.
综上:S= t2-t+ ,S的最小值为2.
难啊