三角形的有关概念

三角形的有关概念
三角形的有关概念

三角形的有关概念
第七章 “三角形”简介
课程教材研究所 薛彬
“三角形”一章章节结构是“与三角形有关的线段”“与三角形有关的角”“多边形及其内角和”“课题学习
镶嵌”．这与以往的内容安排有所不同．按照以往的教材,受三角形、多边形、圆顺次展开的限制,这些内容分别属于不同年级．而新的结构是一种专题式设计,以内角和为主题,先研究三角形内角和,再顺势推广到多边形内角和,最后将内角和公式应用于镶嵌．
本章教学时间约需10课时,具体分配如下（仅供参考）：
7.1 与三角形有关的线段 2课时
7.2 与三角形有关的角 2课时
7.3 多边形及其内角和 2课时
7.4 课题学习 镶嵌 2课时
数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构
本章知识结构框图如下：
（二）教科书内容
本章首先介绍三角形的有关概念和性质．例如,在了解三角形的高的基础上,了解三角形的中线、角平分线．又如,在知道三角形的三个内角的和等于180°的基础上,了解这个结论成立的道理．通过本章内容的学习,可以丰富和加深学生对三角形的认识．另一方面,
这些内容是以后学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）的基础,也是研究其他图形的基础知识．
以三角形的有关概念和性质为基础,本章接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式．三角形是多边形的一种,因而可以借助三角形建立多边形的有关概念,如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来．三角形是最简单的多边形,因而常常将多边形分为若干个三角形,利用三角形的性质研究多边形．多边形的内角和公式就是利用上述方法,由三角形的内角和等于180°得到的．将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排,可以加强它们之间的联系,便于学生学习．
镶嵌作为课题学习的内容安排在本章的最后,学习这个内容要用到多边形的内角和公式．通过这个课题的学习,学生可以经历从实际问题抽象出数学问题,建立数学模型,综合应用已有知识解决问题的过程,从而加深对相关知识的理解,提高思维能力．
（三）课程学习目标
1了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）,知道三角形两边的和大于第三边,会画出任意三角形的高、中线、角平分线,了解三角形的稳定性．
2了解与三角形有关的角（内角、外角）,会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°,探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形）,探索并了解多边形的内角和与外角和公式．
4通过探索平面图形的镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．
二、本章编写特点
（一）加强与实际的联系
三角形是最常见的几何图形之一,在生产和生活中有广泛的应用．教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形,形成三角形的概念．多边形概念的引入,也是类似处理的．
三角形有很多重要的性质,如稳定性,三角形的内角和等于180°．教科书在介绍三角形的稳定性的同时,顺带介绍了四边形的不稳定性．这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条．为什么要这样做呢?”．然后让学生通过实验得出三角形有稳定性,四边形没有稳定性的结论,进而明白在上述实际问题中“斜钉一根木条”的道理．除此之外,教科书还举出了一些应用三角形的稳定性,四边形的不稳定性的实际例子．对于三角形的内角和等于180°,教科书则安排求视角的实际问题作为例题,加强与实际的联系．
在本章的课题学习中,教科书从用地砖铺地引入镶嵌,进而让学生探究一些多边形能否镶嵌成平面图案,并运用通过探究得出的结论进行简单的镶嵌设计．在编写时关注上述从实践到理论,再从理论到实践的全过程,使学生对理论来源于实践又运用于实践的认识进一步加深．
（二）加强与已学内容的联系
学生在前两个学段已学过三角形的一些知识,对三角形的许多重要性质有所了解,在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识,初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征,会进行简单的说理．
上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180°可以启发学生得出说明这个结论正确的方法,而说明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义．在编写时关注本章内容与已学内容的联系,帮助学生掌握本章所学内容．另一方面,又注意让学生通过本章内容的学习,复习巩固已学的内容．
（三）加强推理能力的培养
在本章中加强推理能力的培养,一方面可以提高学生已有的水平,另一方面又可以为学生正式学习证明作准备．为达到上述要求,在编写时注意了以下内容的处理：
（1）由“两点之间,线段最短”说明“三角形两边的和大于第三边”；
（2）由平行线的性质与平角的定义说明“三角形的内角和等于180°”；
（3）由“三角形的内角和等于180°”得出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”；
（4）由“三角形的内角和等于180°”得出多边形内角和公式；
（5）由多边形内角和公式得出多边形外角和公式；
（6）由多边形内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面．
上述内容都包含了推理,教科书注意分析得出结论的思路,通过多提问题,留给学生足够的思考时间,让学生经历得出结论的过程．
三、几个值得关注的问题
（一）把握好教学要求

与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了,进一步的要求可通过后续学习达到．如在本章中知道什么是三角形的角平分线就可以了,如学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点,可直接肯定这个结论,对这个结论的证明在后面学习“全等三角形”一章时再介绍．同样,三条中线交于一点的结论也可直接点明,以后还会知道这个点是三角形的重心．
在本章中,三角形的稳定性是通过实验得出的,待以后学过“三边对应相等的两个三角形全等”,可进一步明白其中的道理．说明三角形的内角和等于180°有一定的难度,只要学生了解得出结论的过程,不要在辅助线上花太多的精力,以免影响对内容本身的理解与掌握．要明确本章仍是正式介绍证明的准备阶段,对推理的要求应循序渐进．
（二）开展好课题学习
可以如下展开课题学习：
背景 了解多边形覆盖平面问题来自实际．
实验 发现有些多边形能覆盖平面,有些则不能．
（3）分析 讨论多边形能覆盖平面的基本条件,发现问题与多边形的内角大小有密切关系,运用多边形内角和公式对实验结果进行分析．
（4）运用 进行简单的镶嵌设计．
首先引入用地砖铺地,用瓷砖贴墙等问题情境,并把这些实际问题转化为数学问题：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖．然后让学生通过实验探究一些多边形能否镶嵌成平面图案,并记下实验结果：
（1） 用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图1）．用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．

（2）用正三角形与正方形可以镶嵌成一个平面图案．用正三角形与正六边形也可以镶嵌成一个平面图案．
（3）用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案, 用任意四边形可以镶嵌成一个平面图案(图2)．

观察上述实验结果,得出多边形能镶嵌成一个平面图案需要满足的两个条件:
（1）拼接在同一个点（例如图2中的点O）的各个角的和恰好等于360°（周角）；
（2）相邻的多边形有公共边（例如图2中的OA两侧的多边形有公共边OA）．
运用上述结论解释实验结果,例如,三角形的内角和等于180°,在图2中,∠1+∠2+∠3=180°．因此,把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点（如图2）,
一定能使以这点为顶点的6个角的和恰好等于360°,并且使边长相等的两条边贴在一起．于是,
用三角形能镶嵌成一个平面图案．又如,由多边形内角和公式,可以得到五边形的内角和等于
(5－2)×180°=540°．
因此,正五边形的每个内角等于
540°÷5=108°,
360°不是108°的整数倍,也就是说用一些108°的角拼不成360°的角．因此,用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．
最后,让学生进行简单的镶嵌设计,使所学内容得到巩固与运用．