求证根号(a的平方/b)+根号(b的平方/a)≥根号a+根号b a＞0 b＞0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 03:30:30
求证根号(a的平方/b)+根号(b的平方/a)≥根号a+根号b a＞0 b＞0
求证根号(a的平方/b)+根号(b的平方/a)≥根号a+根号b a＞0 b＞0
求证根号(a的平方/b)+根号(b的平方/a)≥根号a+根号b a＞0 b＞0
根号(a^2/b)+根号(b^2/a)-(根号a+根号b)
=(a/√b +b/√a)-√a-√b
=(a/√b -√b)+(b/√a -√a)
通分,得
=(a-b)/√b +(b-a)/√a
=(a-b)/√b -(a-b)/√a
=(a-b)[1/√b -1/√a]
=[(a-b)(√a -√b)]/√(ab) ≥0
所以,根号(a^2/b)+根号(b^2/a) ≥(根号a+根号b)
参考柯西不等式二维形式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
下证：
(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R) ＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2 ＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2 ＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2...
全部展开
参考柯西不等式二维形式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
下证：
(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R) ＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2 ＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2 ＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2 ≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
令公式里的a^2＝(a的平方/b) b^2＝根号(b的平方/a) d^2＝根号a c^2＝根号b
代入公式 即得 [根号(a的平方/b)+根号(b的平方/a)](根号a+根号b）≥(根号a+根号b）^2
两边化简即得 ，证毕。
收起