已知定点P(6,4)及定直线l:y=4x,点Q在直线l上(Q在第一象限),直线PQ交x轴正半轴于点M,要使△OMQ的面积最小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/19 00:25:11
已知定点P(6,4)及定直线l:y=4x,点Q在直线l上(Q在第一象限),直线PQ交x轴正半轴于点M,要使△OMQ的面积最小
已知定点P(6,4)及定直线l:y=4x,点Q在直线l上(Q在第一象限),直线PQ交x轴正半轴于点M,要使△OMQ的面积最小
已知定点P(6,4)及定直线l:y=4x,点Q在直线l上(Q在第一象限),直线PQ交x轴正半轴于点M,要使△OMQ的面积最小
40
解析，设，Q点的坐标为(t,4t)，由于直线PQ要与x正半轴相交，那么4t>4，故，t>1,
斜率k(PQ)=(4t-4)/(t-6)，那么直线PQ的方程为，y-4=(4t-4)/(t-6)*(x-6)
当y=0时，x=5t/(t-1)，也就是，OM=5t/(t-1)
由于，OQ=√17*t，设直线OQ与x正半轴的夹角为a，k(OQ)=tana=4，那么sina=4/√17...
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解析，设，Q点的坐标为(t,4t)，由于直线PQ要与x正半轴相交，那么4t>4，故，t>1,
斜率k(PQ)=(4t-4)/(t-6)，那么直线PQ的方程为，y-4=(4t-4)/(t-6)*(x-6)
当y=0时，x=5t/(t-1)，也就是，OM=5t/(t-1)
由于，OQ=√17*t，设直线OQ与x正半轴的夹角为a，k(OQ)=tana=4，那么sina=4/√17
故，S△(OMQ)=1/2*OQ*OM*sina=1/2*√17t*5t(t-1)*4/√17=10t²/(t-1),
t²/(t-1)={(t-1)²+2(t-1)+1}/(t-1)=t-1+1/(t-1)+2≥4，当且仅当，t-1=1/(t-1)，即是t=2时取等号。
因此，S△(OMQ)=10t²/(t-1)≥4*10=40
故，S△(OMQ)的最小值为40。
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∵Q在直线y＝4x上，∴可令点Q的坐标为（m，4m）。
∴PQ的方程为（y－4）/（x－6）＝（4m－4）/（m－6）。令其中的y＝0，得：
－4/（x－6）＝4（m－1）/（m－6），∴x－6＝（6－m）/（m－1），
∴x＝6＋（6－m）/（m－1）＝（6m－6＋6－m）/（m－1）＝5m/（m－1）。
∴点M的坐标为（5m/（m－1），0）。
∵点M在...
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∵Q在直线y＝4x上，∴可令点Q的坐标为（m，4m）。
∴PQ的方程为（y－4）/（x－6）＝（4m－4）/（m－6）。令其中的y＝0，得：
－4/（x－6）＝4（m－1）/（m－6），∴x－6＝（6－m）/（m－1），
∴x＝6＋（6－m）/（m－1）＝（6m－6＋6－m）/（m－1）＝5m/（m－1）。
∴点M的坐标为（5m/（m－1），0）。
∵点M在x轴的正半轴上，∴5m/（m－1）＞0，∴｜OM｜＝5m/（m－1）。
设△OMQ的面积为S，则：S＝（1/2）｜OM｜（4m）＝10m^2/（m－1）。
∴10m^2＝Sm－S，∴10m^2－Sm＋S＝0。
∵m是实数，∴（－S）^2－4×10S≧0。而S显然是正数，∴S≧40。
∴此时S的最小值为40。
将S＝40代入10m^2－Sm＋S＝0中，得：10m^2－40m＋40＝0，∴m^2－4m＋4＝0，
∴（m－2）^2＝0，∴m＝2，∴4m＝8。
∴满足条件的点Q的坐标是（2，8）。
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