已知abc属于实数,求证:a平方+b平方+c平方+4大于等于ab+3b+2c已知abc属于实数,求证:a²+b²+c²+4≥ab+3b+2c

已知abc属于实数,求证:a平方+b平方+c平方+4大于等于ab+3b+2c已知abc属于实数,求证:a²+b²+c²+4≥ab+3b+2c
已知abc属于实数,求证:a平方+b平方+c平方+4大于等于ab+3b+2c
已知abc属于实数,求证:a²+b²+c²+4≥ab+3b+2c

已知abc属于实数,求证:a平方+b平方+c平方+4大于等于ab+3b+2c已知abc属于实数,求证:a²+b²+c²+4≥ab+3b+2c
a²+b²+c²+4-ab-3b-2c
=(a²-ab+¼b²)+(¾b²-3b)+(c²-2c+1)-1+4
=(a-½b)²+¾(b²-4b+4)-3+(c-1)²+3
=(x-½b)²+¾(b-2)²+(c-1)²≥0
∴a²+b²+c²+4≥ab+3b+2c

证明：∵a，b，c为都大于1的不全相等的正实数，
b2c2 a2 +c2a2 b2 ≥ 2c 2，
c2a2 b2 +a2b2 c2 ≥ 2a 2，
b2c2 a2 +a2b2 c2 ≥2b 2，
∴b2c2 a2 +c2a2 b2 +a2b2 c2 ≥a 2+b 2+c 2，
又a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，c2+b2≥2cb，

全部展开

证明：∵a，b，c为都大于1的不全相等的正实数，
b2c2 a2 +c2a2 b2 ≥ 2c 2，
c2a2 b2 +a2b2 c2 ≥ 2a 2，
b2c2 a2 +a2b2 c2 ≥2b 2，
∴b2c2 a2 +c2a2 b2 +a2b2 c2 ≥a 2+b 2+c 2，
又a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，c2+b2≥2cb，
∴a2+b2+c2≥2ab+2bc+2ac
所以b2c2 a2 +c2a2 b2 +a2b2 c2 ≥ab+bc+ac
上述不等式取等条件是：当且仅当a=b=c
由题意a，b，c不全相等，所以等号取不到
所以b2c2 a2 +c2a2 b2 +a2b2 c2 ＞ab+bc+ac

收起

因为(a-1/2b)²≥0
3/4(b-2)²≥0
(c-1)²≥0
所以(a-1/2b)²+3/4(b-2)²+(c-1)²≥0
展开则原式得证