复数 设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 09:29:56
复数 设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n
复数 设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n
复数 设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n
这道题需要用到欧拉公式：e^ix=cosx+isinx,
a=cos60+i*sin60=e^i（π/3）,
b=cos60-i*sin60=e^i（-π/3）,
所以a^n=e^i（nπ/3）,
b^n=e^i（-nπ/3）,
a^n+b^n=e^i（nπ/3）+e^i（-nπ/3）=e^i（nπ/3）+1/[e^i（nπ/3）],
利用欧拉公式展开,
a^n+b^n=cosnπ/3+i*sinnπ/3+1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3],
1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3]=cosnπ/3-i*sinnπ/3,
所以结果等于2cosnπ/3.
复数 a=(1+√3i)/2=1/2+√3/2i；
b=(1-√3i)/2=1/2-√3/2i.
r1=√[1^2+√3)^2]=2.
cosθ (1/2)/2=1/4, sonθ=(√ 3/2)/2=√3/4
a=r1(cosθ+isinθ)
=2(cosi+isinθ).
a^n=...
全部展开
复数 a=(1+√3i)/2=1/2+√3/2i；
b=(1-√3i)/2=1/2-√3/2i.
r1=√[1^2+√3)^2]=2.
cosθ (1/2)/2=1/4, sonθ=(√ 3/2)/2=√3/4
a=r1(cosθ+isinθ)
=2(cosi+isinθ).
a^n=[2(cosθ+isinθ)]^n.
=2^n(cosnθ+isinnθ)
r2=√[1^2+(-√3)^2]=2.
cosθ=(1/2)/2=1/4, sinθ=(-√3/2)/2=-√3/4. sin(-θ)=√3/4
b=2(cosθ+(-isinθ)).
b^n=2^n(cosnθ-isinnθ)
a^n+b^n=2^(n+1)cosnθ. n∈N*
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(a+b)^n的n次二项式，将此二项展开， 系数之和： 二项式系数和为：C（n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n. a+b =1 (a+b)^n=1; a*b =1; a^n+b^n=(a+b)^n + 二项式系数之和 - a^n的系数-b^n的系数 =1 + 2^n - 1 - 1 =2^n-1
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