在Rt△ABC中,角ACB=90度,CD垂直于AB,垂足为点D,设BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,求证：1/a^2+1/b^2=1/h^2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 11:50:01
在Rt△ABC中,角ACB=90度,CD垂直于AB,垂足为点D,设BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,求证：1/a^2+1/b^2=1/h^2
在Rt△ABC中,角ACB=90度,CD垂直于AB,垂足为点D,设BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,求证：1/a^2+1/b^2=1/h^2
在Rt△ABC中,角ACB=90度,CD垂直于AB,垂足为点D,设BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,求证：1/a^2+1/b^2=1/h^2
由面积为0.5*c*h=0.5*a*b
c^2=a^2+b^2
c^2*h^2=a^2*b^2
即
(a^2+b^2)*h^2=a^2*b^2
右边a^2*b^2移到左边下面,h^2移到右边下面
就是要证明的式子了.
本题不是几何题,本质是代数,套了几何的外形.
1/a^2+1/b^2=（a^2+b^2)/(a^2*b^2)
=c^2/(a^2*b^2)
(a^2*b^2)=(ab)^2=(ch)^2=c^2*h^2
所以c^2/(a^2*b^2)=c^2/c^2*h^2=1/h^2
由面积不同表示，
既可表示为ab/2, 也可表示为hc/2
故有1/h=c/(ab)
从而
1/a^2+1/b^2=(a^2+b^2)/(ab)^2
=c^2/(ab)^2=1/h^2
给点鼓励吧，谢谢了！
反推：
1/a^2+1/b^2=1/h^2
<= (a^2+b^2)/(a*b)^2=h^2
<= c^2/(a*b)^2=h^2
<= (h*c)^2=(a*b)^2
<= h*c=a*b 等式两边均为三角形面积两倍
由三角形面积，得ab=ch
同时平方
a^2 * b^2 = c^2 * h^2
又勾股定理，有
a^2+b^2=c^2
所以a^2 * b^2 = （a^2+b^2） * h^2
两边同除以a^2 * b^2 * h^2
1/h^2=（a^2+b^2）/ (a^2 * b^2)=1/a^2+1/b^2
△ABC的面积=ab/2=ch/2
所以ab=ch a^2b^2=c^2h^2 c^2=(a^2b^2)/h^2
根据勾股定理a^2+b^2=c^2
所以a^2+b^2=(a^2b^2)/h^2
两边同时除以a^2b^2 得到：1/a^2+1/b^2=1/h^2
等式两边同时乘以a^2*b^2*h^2
得 b^2*h^2+a^2*h^2=a^2*b^2
即 h^2(a^2+b^2)=a^2*b^2 又因为a^2+b^2=c^
即 h^2*c^2=a^2*b^2 两边同时开方
即 h*c=a*b
根据面积公式得：h*c=a*b
所以原等式等证
希望采纳！！！
用勾股定理a²+b²=c²
由面积ab=ch
故
1/a²+1/b²=（a²+b²）/（ab）²=c²/（ch)²=1/h²
等量代换s=1/2ab=1/2ch,则ab=ch则a^2b^2=c^2h^2,c^2=a^2b^2/h^2则a^2+b^2=a^2b^2/h^2同除以a^2b^2就得结果