关于线面角角ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4,PF,PE垂直于BC,AC于F,E且PF=PE=2根号3,求PC与平面ABC.所成角的大小
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/08 07:14:03
关于线面角角ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4,PF,PE垂直于BC,AC于F,E且PF=PE=2根号3,求PC与平面ABC.所成角的大小
关于线面角
角ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4,PF,PE垂直于BC,AC于F,E且PF=PE=2根号3,求PC与平面ABC.所成角的大小
关于线面角角ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4,PF,PE垂直于BC,AC于F,E且PF=PE=2根号3,求PC与平面ABC.所成角的大小
连接EF
∵PF⊥AC
∴在RT△PFC,PC²=PF²+CF²
∵PF=PE=2根号3,PC=4
∴CF=2
同理,CE=2
取EF的中点G,连接PG和CG
∵在△PEF中,PF=PE
∴PG⊥EF
∵在RT△CEF中,CE=CF=2
∴CG⊥EF,CG=EG=1/2EF=根号2
∴PG=根号10
过P点作PH⊥CG交CG的延长于H
∵PG⊥EF,CG⊥EF
∴EF⊥平面PGC
∴EF⊥PH
∴PH⊥平面ABC
∴角PCH即角PCG是PC与平面ABC的夹角
∴在△PCG中,PG²=CG²+PC²-2CG*PCcos∠PCG
∴cos∠PCG=(CG²+PC²-PG²)/(2CG*PC)=根号2/2
∴∠PCG=45°,即PC与平面ABC.所成角为45°
如图所示:作PK⊥平面ABC垂足为K,联结FK、EK 因为PF⊥BC,PK⊥平面ABC,所以BC⊥KF 同理:AC⊥EK,由于PF=PE,所以得KF=KE 所以△KCF≌△KCE,∠KCF=∠KCE=45 又PC=4,PF=PE=2根号3,所以CE=CF=2=KF=KE,CK=2根号2 PC与平面ABC.所成角∠PCK的余弦值: cos ∠PCK=2根号2/4=根号2/2 ∠PCK=45 即:PC与平面ABC.所成角的大小为45