若a,b是方程x^2-2kx+k+6=0的两个实根,则(a-1)^2+(b-1)^2的最小值为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 12:00:23
若a,b是方程x^2-2kx+k+6=0的两个实根,则(a-1)^2+(b-1)^2的最小值为
若a,b是方程x^2-2kx+k+6=0的两个实根,则(a-1)^2+(b-1)^2的最小值为
若a,b是方程x^2-2kx+k+6=0的两个实根,则(a-1)^2+(b-1)^2的最小值为
(a-1)^2+(b-1)^2=a²-2a+1+b²-2b+1=(a²+2ab+b²)-2(a+b)+2ab+1
=(a+b)²-2(a+b)-2ab+2
=(2k)²-2*2k-2(k+6)+2
=4k²-4k-2k-12+2
=4k²-6k-10
又因为方程x^2-2kx+k+6=0有两个实根
所以(-2k)²-4(k+6)>=0
化简k²-k-6>=0
解之得 k>=3 或者k=3 或者k
等于8
根据韦达定理：
{a+b=2k
{ab=k+6
所以(a-1)^2+(b-1)^2=a^2+b^2-2(a+b)+2
=(a+b)^2-2ab-4k+2=4k^2-2k-16-4k+2=4k^2-6k-14.
因为方程x^2-2kx+k+6=0有两个实根，所以
△=4k^2-4k-6≥0
那么(a-1)^2+(b-1)^2=4k^2-6k-1...
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根据韦达定理：
{a+b=2k
{ab=k+6
所以(a-1)^2+(b-1)^2=a^2+b^2-2(a+b)+2
=(a+b)^2-2ab-4k+2=4k^2-2k-16-4k+2=4k^2-6k-14.
因为方程x^2-2kx+k+6=0有两个实根，所以
△=4k^2-4k-6≥0
那么(a-1)^2+(b-1)^2=4k^2-6k-14=4k^2-4k-6-2k-8
4k^2-4k-6最小为0，所以要使(a-1)^2+(b-1)^2最小，则4k^2-4k-6=0得k=(1±√7)/2使(a-1)^2+(b-1)^2最小，则k应尽量小，所以k=(1-√7)/2，所以(a-1)^2+(b-1)^2的最小值为：-2[(1-√7)/2]-8=√7-1-8=√7-9故(a-1)^2+(b-1)^2的最小值为√7-9
收起