p和q都是正数,而且p+q=1.请比较(px+qy)^2与px^2+qy^2的大小关系

p和q都是正数,而且p+q=1.请比较(px+qy)^2与px^2+qy^2的大小关系
p和q都是正数,而且p+q=1.请比较(px+qy)^2与px^2+qy^2的大小关系

p和q都是正数,而且p+q=1.请比较(px+qy)^2与px^2+qy^2的大小关系
(px+qy)^2≤px^2+qy^2
已知p+q=1.且p,q都为正
则 px^2+qy^2=(px^2+qy^2)*(p+q)=p^2*x^2+q^2*y^2+pqx^2+pqy^2 (1)
而左边(px+qy)^2=p^2*x^2+q^2*y^2+2pqxy (2)
由(1)-(2)得:
pqx^2+pqy^2-2pqxy=pq(x-y)^2≥0
所以
(px+qy)^2≤px^2+qy^2

后面的大，设q=p=1/2, 前面减后面是个负的完全平方

由柯西不等式有px^2+qy^2=(px^2+qy^2)*(p+q)>=(px+qy)^2