如图 三角形ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交三角形的外接圆于D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60度.求证：1：三角形BDE是等边三角形；
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 13:52:00
如图 三角形ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交三角形的外接圆于D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60度.求证：1：三角形BDE是等边三角形；
如图 三角形ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交三角形的外接圆于D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60度.
求证：1：三角形BDE是等边三角形；
如图 三角形ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交三角形的外接圆于D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60度.求证：1：三角形BDE是等边三角形；
我开始时是正向思维,结果推了好久都没出来,于是想到了用逆向思维.
根据已知,三角形BDE是等边三角形,∠BDA=60度,
设AD与BC交于F点
1、DB=DE!而DE=DF+FE
2、DB/FD=1+FE/FD
AD是∠BAC的平分线,∠BAD=∠CAD,等弦对的圆周角相等,∠CAD=∠CBD,
所以△DBF相似于△DAB.
3、有DB/FD=DA/DB,FD/DB=FB/AB
4、其中DB/FD=DA/DB=(AE+ED)/DE=AE/DE+1,根据2
5、FE/FD=AE/DE,即FE/AE=FD/DE=FD/DB,根据3
6、FE/AE=FB/AB
最后一条可根据角平分线的性质得到.这个应该知道吧,不过还是给你推导一下吧.角平分线的性质还是很重要和有用的.
角平分线的性质FE/AE=FB/AB推导过程如下：
△ABF的的叫平分线BE,E在AF上,过点F作AB的平行线交BE的延长线于K点,于是∠FKE=∠ABE=∠EBF,所以FB=FC,△EFK相似于△EAB,
于是FE/AE=FK/AB=FB/AB,也就是上面的6
清楚否
∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E
-> ∠BAE=∠EAC，∠ABE=∠EBC
延长AE交ΔABC的外接圆于点D
-> ∠EAC=∠CBD
-> ∠BAE=∠EAC=∠CBD
∠BED=∠ABE+∠BAE
∠EBD=∠EBC+∠CBD
-> ∠BED=∠EBD
∠BDA=60°
-> ∠BED...
全部展开
∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E
-> ∠BAE=∠EAC，∠ABE=∠EBC
延长AE交ΔABC的外接圆于点D
-> ∠EAC=∠CBD
-> ∠BAE=∠EAC=∠CBD
∠BED=∠ABE+∠BAE
∠EBD=∠EBC+∠CBD
-> ∠BED=∠EBD
∠BDA=60°
-> ∠BED=∠EBD=∠BDA=60°
-> ΔBDE为等边三角形
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