已知△ABC中,A=60°,BC=4,求当AB多长时,S△ABC的面积最大

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:00:38
已知△ABC中,A=60°,BC=4,求当AB多长时,S△ABC的面积最大已知△ABC中,A=60°,BC=4,求当AB多长时,S△ABC的面积最大已知△ABC中,A=60°,BC=4,求当AB多长时

已知△ABC中,A=60°,BC=4,求当AB多长时,S△ABC的面积最大
已知△ABC中,A=60°,BC=4,求当AB多长时,S△ABC的面积最大

已知△ABC中,A=60°,BC=4,求当AB多长时,S△ABC的面积最大
【分析】三角形的面积为底边和高的乘积的1/2,所以,当底边恒定时,高越长,则面积就越大.第二,直角三角形中,由于斜边大于任何一条直角边.第三,A点到BC的距离越大,则,AB就越长,所以,这道题就转化成求A点到BC的距离的最大值.
【解题】过A点做AE⊥BC,垂足为E,所以,在直角三角形ABE中,当AE最大时,BC最长.
∵S△ABC=1/2×BC×AE=1/2×4×AE=2AE
∴当AE最大时,△ABC的面积最大,这是,在Rt△AEB中,斜边BC最长
∵本题中∠A=60°,且BC=4,所以只有当E点处于BC中点时,AE最长(此处省略证明,你自己可以证明一下)
∴只有当△ABC为等边三角形时,AE最长(此处省略证明)
∴当AB=AC=BC=4时,△ABC的面积最大

根据余弦定理,2abcosA=a^2+b^2-16;所以ab=a^2+b^2-16,可以得到ab<=16;
S△ABC的面积最大为absinA/2=4根号3.