哪位帮忙证一下柯西不等式各位数学哥一定要帮忙啊
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 01:45:44
哪位帮忙证一下柯西不等式各位数学哥一定要帮忙啊
哪位帮忙证一下柯西不等式
各位数学哥一定要帮忙啊
哪位帮忙证一下柯西不等式各位数学哥一定要帮忙啊
柯西不等式多了啊,你需要哪方面的?
二维形式的证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R) ＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2 ＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2 ＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2 ≥(ac＋bd)^2,等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立.
一般形式的证明
求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 证明：当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,一般形式显然成立 令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2 当a1,a2,…,an中至少有一个不为零时,可知A＞0 构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C,（请注意,一次项系数是2B,不是B）展开得：f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0 故f(x)的判别式△＝4b^2－4AC≤0,（请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△＝b^2-4ac,但是这里的方程Ax^2＋2Bx＋C = 0已经发生如下替换a = A,b = 2B,c = C,这里面b已经换成了2B,因而导致很多网友的误解.此步若错,柯西不等式就无法证明了!） 移项得AC≥B^2,欲证不等式已得证.
向量形式的证明
令m＝(a1,a2,…,an),n＝(b1,b2,…,bn) m·n＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝|m||n|cos＝√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2) ×cos ∵cos≤1 ∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2) 注：“√”表示平方根.注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明.
二维形式的证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R) ＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2 ＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2 ＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2 ≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
拉格朗日恒等式。。