用数学法证明一束平行光（平行于X轴）经抛物线反射后聚于焦距一点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 01:05:02
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用数学法证明一束平行光（平行于X轴）经抛物线反射后聚于焦距一点
求证：平行于抛物线主轴的直线经过反射过其焦点.
设：抛物线方程为C:y^=2px,焦点F(p/2,0),
平行于主轴(x轴)的直线为l:y=m,.斜率为k1=0
C与l的交点：P(m^/(2p),m),抛物线过P点的切线l'方程：
my=p(x+m^/(2p))=px+m^/2,.斜率为k=p/m
PF的斜率：k2=m/[m^/(2p)-p/2]=2mp/(m^-p^)
l与l'所成的角a：tga=(k-k1)/(1+kk1)=(p/m)
l'与PF所成的角b：
tgb=(k2-k)/(1+k2k)=(2mp/(m^-p^)-p/m)/(1+2p^/(m^-p^))
=[2mp-(p/m)(m^-p^)]/(m^+p^)
=[(p/m)(m^+p^)]/(m^+p^)
=p/m=tga
---〉入射角=90度-a=90度-b=反射角
即：l经抛物线反射后过焦点
用导数来求，求出反射点的切线斜率，即可求出反射光线与X轴的夹角，便可求出反射光线与x轴的交点。再判断这个点是不是焦点且是唯一的。
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