从双曲线X²-Y²=1上一点Q引直线X+Y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 22:34:45
从双曲线X²-Y²=1上一点Q引直线X+Y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程
从双曲线X²-Y²=1上一点Q引直线X+Y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程
从双曲线X²-Y²=1上一点Q引直线X+Y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程
设P(m,n),因为PN⊥直线X+Y=2,所以PN斜率为1
所以,PN方程为x-y-m+n=0
联立直线X+Y=2方程,解得N((m-n+2)/2,(n-m+2)/2)
又因为P为QN中点,所以2m=xN+xQ,2n=yN+yQ
所以xQ=2m-xN=(3m+n-2)/2,yQ=2n-yN=(3n+m-2)/2
又因为Q在双曲线X²-Y²=1上,代入,化简,得2m^2-2n^2-2m+2n-1=0
即P轨迹方程：2x^2-2y^2-2x+2y-1=0
设Q (m,n)
x+y=2垂线斜率是1
所以是x-y=p
过Q
所以x-y=m-n
x+y=2
x=(m-n+2)/2
y=(2-m+n)/2
所以N[(m-n+2)/2,(2-m+n)/2]
P(x,y)
则2x=m+(m-n+2)/2=(3m-n+2)/2
2y=n+(2-m+n)/2=(2-m+3n)/...
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设Q (m,n)
x+y=2垂线斜率是1
所以是x-y=p
过Q
所以x-y=m-n
x+y=2
x=(m-n+2)/2
y=(2-m+n)/2
所以N[(m-n+2)/2,(2-m+n)/2]
P(x,y)
则2x=m+(m-n+2)/2=(3m-n+2)/2
2y=n+(2-m+n)/2=(2-m+3n)/2
n=3y/2+x/2-1
m=y/2+3x/2-1
m²-n²=1
所以(y/2+3x/2-1)²-(3y/2+x/2-1)²=1
(2y+2x-2)(x-y)=1
2x²-2y²-2x+2y-1=0
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设P（m,n）.QP的直线方程为y-n=x-m(因为此线与X+Y=2垂直，所以这条直线斜率是1)，将方程带入双曲线。
x=(m^2-2mn+m^2+1)/(2n-2m) —— a
将方程带入直线X+Y=2。
x=(2+m-n)/2 ——b
因为P是QN的中点
所以a+b=2m
最后得出4mn-4m^2=2n-2m+1
接着把m,n换成...
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设P（m,n）.QP的直线方程为y-n=x-m(因为此线与X+Y=2垂直，所以这条直线斜率是1)，将方程带入双曲线。
x=(m^2-2mn+m^2+1)/(2n-2m) —— a
将方程带入直线X+Y=2。
x=(2+m-n)/2 ——b
因为P是QN的中点
所以a+b=2m
最后得出4mn-4m^2=2n-2m+1
接着把m,n换成x,y,带入上式，即可得出。
仅提供思路，不保证答案。
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