若x>0,y>0,且根x+根y小于等于a*根(x+y)恒成立,求a的最小值,这题怎么做?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:13:04
若x>0,y>0,且根x+根y小于等于a*根(x+y)恒成立,求a的最小值,这题怎么做?
若x>0,y>0,且根x+根y小于等于a*根(x+y)恒成立,求a的最小值,这题怎么做?
若x>0,y>0,且根x+根y小于等于a*根(x+y)恒成立,求a的最小值,这题怎么做?
根x+根y小于等于a*根(x+y) a>0 平方
x+y+2√xy=2√xy
a^2-1>=1
a^2>=2
a>=√2 a的最小值=√2
√x＋√y≤a√(x＋y)，则：
a≥[√x＋√y]/√(x＋y)]
即：a²≥[x＋y＋2√(xy)]/(x＋y)=1＋2√[(xy)]/(x＋y)
因为x>0、y>0，则：x＋y≥2√xy，则：√(xy)/(x＋y)≤1/2
即：2√[(xy)]/(x＋y)的最大值是1，则：
a²≥1＋2√[(xy)/(x²＋y²...
全部展开
√x＋√y≤a√(x＋y)，则：
a≥[√x＋√y]/√(x＋y)]
即：a²≥[x＋y＋2√(xy)]/(x＋y)=1＋2√[(xy)]/(x＋y)
因为x>0、y>0，则：x＋y≥2√xy，则：√(xy)/(x＋y)≤1/2
即：2√[(xy)]/(x＋y)的最大值是1，则：
a²≥1＋2√[(xy)/(x²＋y²)]的最大值1＋1=2，得：
a≥√2
即a的最小值是√2
收起
√x+√y≤a*√(x+y)
两边平方
x+y+2√(x*y)≤a²*(x+y)
a²≥(x+y+2√xy)/(x+y)
a²≥1+2(√xy)/(x+y)
又因为x+y≥2√xy，所以0≤2√xy/(x+y)≤1，1≤1+2(√xy)/(x+y)≤2
根据原等式，首先a>0，如果要恒成立则a²必须大于1+2(...
全部展开
√x+√y≤a*√(x+y)
两边平方
x+y+2√(x*y)≤a²*(x+y)
a²≥(x+y+2√xy)/(x+y)
a²≥1+2(√xy)/(x+y)
又因为x+y≥2√xy，所以0≤2√xy/(x+y)≤1，1≤1+2(√xy)/(x+y)≤2
根据原等式，首先a>0，如果要恒成立则a²必须大于1+2(√xy)/(x+y)的最大值。即2。
所以a=√2。
收起
平方后
x+y+2跟xy<=a^2(x+y)
同除x+y
1+2根xy/(x+y)<=a^2
x+y>=2根xy 当且仅当x=y
所以1+2根xy/(x+y)<=2
所以a的最小值为根号2