已知:f(x²+1)=x^4+4x²-5,x∈R,求f(x)值域

已知:f(x²+1)=x^4+4x²-5,x∈R,求f(x)值域
已知:f(x²+1)=x^4+4x²-5,x∈R,求f(x)值域

已知:f(x²+1)=x^4+4x²-5,x∈R,求f(x)值域
f(x²+1)=x^4+4x²-5
=（x²+1）²+2（x²+1）-8
令t=x²+1≥1
f(t)=t²+2t-8
=(t+1)²-9,对称轴为t=-1,开口向上
f(t) 在 t=x²+1≥1 定义域上为单调增
f(t)∈[-5,+∞）

f(x²+1)=x^4+4x²-5=(x²+1+1)²-9
所以f(x)=(x+1)²-9(x∈[1,+无穷))
f(x)在[1,+无穷)上单调递增
所以值域为[-5,+无穷)
欢迎追问

解令t=x²+1，则x²=t-1，x^4=（t-1）²，t≥1
则由f(x²+1)=x^4+4x²-5
得f(t)=（t-1）²+4（t-1）-5
即f（t）=t²+2t-8
即f（x）=x²+2x-8 （x≥1）
则f（x）=（x+1）²-9
即函数f（x）在...

全部展开

解令t=x²+1，则x²=t-1，x^4=（t-1）²，t≥1
则由f(x²+1)=x^4+4x²-5
得f(t)=（t-1）²+4（t-1）-5
即f（t）=t²+2t-8
即f（x）=x²+2x-8 （x≥1）
则f（x）=（x+1）²-9
即函数f（x）在x属于[1,正无穷大）是增函数
当x=1时，y=f（x）有最小值=-5
即函数的值域为[-5,正无穷大）。

收起