怎么计算下面的二重积分 公式有点烦
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 01:51:52
怎么计算下面的二重积分 公式有点烦
怎么计算下面的二重积分 公式有点烦
怎么计算下面的二重积分 公式有点烦
令L0=L1+L2+L3+L4,则
L1=μ0μr/(2π)*∫∫-(y+D)/[(x-L)√((x-L)^2+(y+D)^2)]*dxdy
L2=μ0μr/(2π)*∫∫(y-D)/[(x-L)√((x-L)^2+(y-D)^2)]*dxdy
L3=μ0μr/(2π)*∫∫-(x+L)/[(y-D)√((y-D)^2+(x+L)^2)]*dxdy
L4=μ0μr/(2π)*∫∫(x-L)/[(y-D)√((y-D)^2+(x-L)^2)]*dxdy
①对于L1,令u=x-L,v=y+D,则
L1=μ0μr/(2π)*∫∫-v/[u√(u^2+v^2)]*dudv
令u=ρcosθ,v=ρsinθ,化为极坐标,则
L1=μ0μr/(2π)*∫∫-ρsinθ/[ρcosθ*ρ]*ρdρdθ
=μ0μr/(2π)*∫dρ*∫-sinθ/cosθdθ
=μ0μr/(2π)*∫dρ*∫dcosθ/cosθ
=μ0μr/(2π)*ρ*ln|cosθ|
=μ0μr/(2π)*(ρ2-ρ1)*ln(|cosθ2/cosθ1|)
其中,ρ1=√[r^2+(-2L+r)^2],ρ2=√[r^2+(2D-r)^2];
cosθ2/cosθ1=(-r)/(-2L+r)*ρ1/ρ2
②类似地,对于L2,令u=x-L,v=y-D,有
L2=μ0μr/(2π)*∫∫v/[u√(u^2+v^2)]*dudv
=μ0μr/(2π)*(ρ2-ρ1)*ln(|cosθ1/cosθ2|)
其中,ρ1=√[(-2D+r)^2+(-2L+r)^2],ρ2=√(2r^2);
cosθ1/cosθ2=(-2L+r)/(-r)*ρ2/ρ1
③对于L3,令u=x+L,v=y-D,有
L3=μ0μr/(2π)*∫∫-u/[v√(v^2+u^2)]*dudv
=μ0μr/(2π)*(ρ2-ρ1)*ln(|sinθ2/sinθ1|)
其中,ρ1=√[r^2+(2L-r)^2],ρ2=√[r^2+(-2D+r)^2]
sinθ2/sinθ1=(-r)/(-2D+r)*ρ2/ρ1
④对于L4,令u=x-L,v=y-D,有
L4=μ0μr/(2π)*∫∫u/[v√(v^2+u^2)]*dudv
=μ0μr/(2π)*(ρ2-ρ1)*ln(|sinθ2/sinθ1|)
其中,ρ1=√[(-2L+r)^2+(-2D+r)^2],ρ2=√(2r^2)
sinθ2/sinθ1=(-r)/(-2D+r)*ρ1/ρ2
计算发现,对于L1和L3,有
L1+L3=μ0μr/(2π)*(ρ2-ρ1)*ln(r^2/[(-2D+r)(-2L+r)])
其中,ρ1=√[r^2+(-2L+r)^2],ρ2=√[r^2+(2D-r)^2]
对于L2和L4,有
L2+L4=μ0μr/(2π)*(d2-d1)*ln[(-2L+r)/(-2D+r)]
其中,d1=√[(-2L+r)^2+(-2D+r)^2],d2=√(2r^2)
带入r,D,L的具体数值,即可计算L1+L3,L2+L4的值
再带入L0=L1+L2+L3+L4,即可计算L0的值