如题所示 哈哈 我也知道是到三角形三个顶点的距离的和最小的点但是要知道怎么求 以及最短距离怎么求谢

如题所示 哈哈 我也知道是到三角形三个顶点的距离的和最小的点但是要知道怎么求 以及最短距离怎么求谢
如题所示
哈哈 我也知道是到三角形三个顶点的距离的和最小的点
但是要知道怎么求 以及最短距离怎么求
谢

如题所示 哈哈 我也知道是到三角形三个顶点的距离的和最小的点但是要知道怎么求 以及最短距离怎么求谢
对于任意三角形△ABC,若三角形内某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点.
如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点.

浅谈三角形的费马点
法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．
本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应...

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浅谈三角形的费马点
法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．
本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．
1．三角形的费马点
已知：如图1，ΔABD、ΔAEC都是等边三角形．求证：BE=DC．
这个题目证明比较容易，下面提几个问题供同学们思考．
思考1 在ABC的BC边再作等边三角形BCF，并连接AF如图2，可得到什么结论？是否有
(1)BE=CD=AF？
(2)BE、CD、AF三线交于一点O？
(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°？
思考2 如将原题的图1改成图3，并连接DE，还能得到什么结论？
(1)原题的结论仍然成立：BE=CD．
(2)若∠ADC=120°，则D点在等边ΔAEC的外接圆上．D、B、E共线，由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°，易证AD＋DC＞DE．得到下列命题．
定理1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．
思考3 根据上述定理，在图2中还有
(1)OA＋OB＋OC=AF．
(2)在ΔABC内另取一点O，总有
O′A＋O′B＋O′C＞AF，
即 OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．
(3)点O是ΔABC所在平面上到三个顶点距离之和为最小的点．
定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．
2．水管线路最短问题
如图4，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄供水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？
这是一个很有意义的应用题，在公路，自来水或煤气管道线路设计等方面都有一定价值．假如不是由水泵站C直接向A、B两地供水，那么本例用“对称点”方法所确定的线路CA＋CB并不是最短线路．易知当A、B、C三点所确定的三角形各角都小于120°时，在该三角内必存在费马点O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB，可见水管总长还可以更小一些．于是水管线路最短问题即为A、B两点在直线L同侧，点C为L上一个动点的费尔马问题，下面分两类情况讨论这个问题．
(1)AB与L的夹角小于30”．
如图5，以AB为一边作正三角形ABM，并作ΔABM的外接圆．
当所作外接圆与直线L相离或相切时，从M点作直线L的垂线，交圆于O点，垂足为C．C即为水泵站位置，先把水引到O点，再从O点分别向A、B两地供水，此时点O 更短，即在L上另选一点都不会改进．
优的了，因为∠ABC≥120°，费马点就是点C也就是在C建水泵站直接向A、B两地供水．如果水泵站C选在P点的左侧，如图7，此时△ABC的费马点O必在在点P上，故L上点P的左侧不会有更好的点可选，同理Q点的右边也找不出更好的点．
(2)AB与L的夹角不小于30°．
如图8，若A点离直线L较近，作AC⊥L交于C，点C为水泵站位置，因为∠CAB≥120°，点A即为ΔABC的费马点，此时水管总长为CA＋AB．在L上任意另取一点都不会再有改进．显然在点C的左侧取一点C′时，ΔABC′的费马点仍在A点，易知 弧上(因为ΔABM的外接圆不会与L相交或相切)，故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．
综上所述水管的最短线路有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．
3．两个应用题
文(4)谈到95年全国高考命题组，对应用题选编时曾考虑过如下两个题目：
(1)一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？
(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上，须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发，可沿此网络中的线达到别的点)，问此网络应以什么方式连接这四个点，方可使所用的线总长最小？
汤建新，赵汉群曾在《中学数学》(湖北)1997．10月刊上发文(5)对(1)题作了详细讨论，并给出一个很巧妙的解答，使初中学生可以理解．用费马点也可这样去解，因为水底电缆每千米修建费为地下的两倍，如图9，实际上即为在河岸直线L上找一点C使AC＋2BC最小，取B点关于L的对称点B′，因为BC=B′C故所求点C(电缆的下水点)即为ΔABB′的费马点，取∠BCA=120°即得．
关于(2)题如图10，易知不论如何连接，所求的网络必通过正方形中心O点，问题转化为ΔABO与ΔDCO的费马问题，也可以转化为问题(1)，详细解答请同学们考虑．

收起

图呢？
费马点就是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.