某单位办公室的地板由三种正多边形的小木板铺成,且每一顶点处有三种小木块各一块,设这三种正多边形的边数分别为x、y、z（x≤y≤z）,求x、y、z的值.

某单位办公室的地板由三种正多边形的小木板铺成,且每一顶点处有三种小木块各一块,设这三种正多边形的边数分别为x、y、z（x≤y≤z）,求x、y、z的值.
某单位办公室的地板由三种正多边形的小木板铺成,且每一顶点处有三种小木块各一块,
设这三种正多边形的边数分别为x、y、z（x≤y≤z）,求x、y、z的值.

某单位办公室的地板由三种正多边形的小木板铺成,且每一顶点处有三种小木块各一块,设这三种正多边形的边数分别为x、y、z（x≤y≤z）,求x、y、z的值.
n边形内角公式：(n-2)*180/n
所以[(x-2)/x+(y-2)/y+(z-2)/z]*180=360
整理得：1/x+1/y+1/z=1/2
因为x、y、z为整数且依次增大.
所以(x,y,z)=(3,7,42)or(3,8,24)or(3,9,18)or(4,5,20)or(4,6,12)
下面说明x y z中不能有奇数
不妨设x为奇数,则与它相邻的必为y、z边形交替,但因为x是奇数,所以
必存在一个x边形的顶点,此顶点上的另两个木板为同种多边形(附图,以五边形为例)
所以x=4,y=6,z=12,只有一组解（构造附图

）