设函数f(x)的自变量x的取值范围是a≤x≤b.如果对于这个范围内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在a≤x≤b上是增函数（即随着x的增大,相应的f(x)也随着增
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 22:31:18
设函数f(x)的自变量x的取值范围是a≤x≤b.如果对于这个范围内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在a≤x≤b上是增函数（即随着x的增大,相应的f(x)也随着增
设函数f(x)的自变量x的取值范围是a≤x≤b.如果对于这个范围内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在a≤x≤b上是增函数（即随着x的增大,相应的f(x)也随着增大）.
（1）根据上面这一定义,试证明函数f(x)=x的平方+x分之1 在x≥1上是增函数
（2）试求函数f(x)=x的平方+x分之1 在1≤x≤8 的最小值和最大值
很着急速求!
设函数f(x)的自变量x的取值范围是a≤x≤b.如果对于这个范围内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在a≤x≤b上是增函数（即随着x的增大,相应的f(x)也随着增
（1）在x≥1上,对于任何x1＜x2：
f(x2）=X2^2+1/X2,
f(x1）=X1^2+1/X1
f(X2)-f(X1)=X2^2+1/X2-(X1^2+1/X1)=X2^2-X1^2+1/X2-1/X1=X2^2-X1^2-(X2-X1)/X2*X1=
(X2-X1)(X2+X1)-(X2-X1)/X2*X1=(X2-X1)(X2+X1-1/(X1*X2))=(X2-X1)(X1+X2)(X1*X2-1)/(X1*X2)
由于x1＜x2和任何Xx≥1,故(X2-X1)>0和X1*X2-1≥0,
故f(X2)-f(X1)≥0,即f(X2)>f(X1),这就按题意证明了函数f(x)=x的平方+x分之1 在x≥1上是增函数.
（2）根据已经证明的命题,该函数在1≤x≤8是增函数,故其最小值是f(1）=1+1=2,其最大值是f(8）=8^2+1/8=64.125.
（第一个小问题若可用导数的方法的话应该可简单一点）