设f(x)在《0,2a》上连续 且有f(0)=f(2a) 证明 存在b在(0,a)内使得f(b)=f(a+b)

设f(x)在《0,2a》上连续 且有f(0)=f(2a) 证明 存在b在(0,a)内使得f(b)=f(a+b)
设f(x)在《0,2a》上连续 且有f(0)=f(2a) 证明 存在b在(0,a)内使得f(b)=f(a+b)

设f(x)在《0,2a》上连续 且有f(0)=f(2a) 证明 存在b在(0,a)内使得f(b)=f(a+b)
应该是存在b∈[0,a]使得f(b)=f(a+b)
证:令F(x)=f(x+a)-f(x)
显然F(x)连续
F(0)=f(a)-f(0)
F(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)
若f(0)=f(a)
那么可以取b=0或b=a均可满足题意
若f(0)≠f(a)
则F(0)×F(a)=-[f(a)-f(0)]²＜0
又F(x)连续
所以存在b∈[0,a]使得F(x)=0
即f(b)=f(a+b)