数学里什么叫闭包
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 21:25:16
数学里什么叫闭包
数学里什么叫闭包
数学里什么叫闭包
闭包点
对欧几里德空间的子集 S,x 是 S 的闭包点,若所有以 x 为中心的开球都包含 S 的点（这个点也可以是 x）.
这个定义可以推广到度量空间 X 的任意子集 S.具体地说,对具有度量 d 的度量空间 X,x 是 S 的闭包点,若对所有 r > 0,存在 y 属于 S,使得距离 d(x,y) < r（同样的,可以是 x = y）.另一种说法可以是,x 是 S 的闭包点,若距离 d(x,S) := inf{d(x,s) :s 属于 S} = 0（这里 inf 表示下确界）.
这个定义也可以推广到拓扑空间,只需要用邻域替代“开球”.设 S 是拓扑空间 X 的子集,则 x 是 S 的闭包点,若所有 x 邻域都包含 S 的点.注意,这个定义并不要求邻域是开的.
极限点
闭包点的定义非常接近极限点的定义.这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在极限点的定义中,点 x 的邻域必须包含和 x 不同的集合的点.
因此,所有极限点都是闭包点,但不是所有的闭包点都是极限点.不是极限点的闭包点就是孤点.也就是说,点 x 是孤点,若它是 S 的元素,且存在 x 的邻域,该邻域中除了 x 没有其他的点属于 S.
对给定的集合 S 和点 x,x 是 S 的闭包点,当且仅当 x 属于 S,或 x 是 S 的极限点.
集合的闭包
集合 S 的闭包是所有 S 的闭包点组成的集合.S 的闭包写作 cl(S),Cl(S) 或 S−.集合的闭包具有如下性质：
cl(S) 是 S 的闭父集.
cl(S) 是所有包含 S 的闭集的交集.
cl(S) 是包含 S 的最小的闭集.
集合 S 是闭集,当且仅当 S = cl(S).
若 S 是 T 的子集,则 cl(S) 是 cl(T) 的子集.
若 A 是闭集,则 A 包含 S 当且仅当 A 包含 cl(S).
有时候,上述第二或第三条性质会被作为拓扑闭包的定义.
在第一可数空间（如度量空间）中,cl(S) 是所有点的收敛数列的所有极限.
注意,若将“闭包”,“交集”,“包含”,“最小”,“闭”等词汇相应替换成“内部”,“并集”,“饱含于”,“最大”,“开”,上述性质仍然成立.更多信息请参看下面的“闭包运算”.
闭包的本质
集合 S 是闭集当且仅当 Cl(S)=S.特别的,空集的闭包是空集,X 的闭包是 X.集合的交集的闭包总是集合的闭包的交集的子集（不一定是真子集）.有限多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等；零个集合的并集为空集,所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况.无限多个集合的并集的闭包不一定等于这些集合的闭包的并集,但前者一定是后者的父集
若 A 为包含 S 的 X 的子空间,则 S 在 A 中计算得到的闭包等于 A 和 S 在 X 中计算得到的闭包（Cl_A(S) = A\cap Cl_X(S)）的交集.特别的,S 在 A 中是稠密的,当且仅当 A 是 Cl_X(S) 的子集.