已知a∈R,函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax(1)求f(x)的单调区间 (2)若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]不等式 m-am^2≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/10 23:30:32
已知a∈R,函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax(1)求f(x)的单调区间 (2)若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]不等式 m-am^2≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围
已知a∈R,函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax
(1)求f(x)的单调区间 (2)若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]不等式 m-am^2≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围
已知a∈R,函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax(1)求f(x)的单调区间 (2)若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]不等式 m-am^2≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围
(1)
∵f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax,x∈R
∴f’(x)=6[x²-(a+1)x+a]=6(x-1)(x-a),
故,
①当a<1时,f’(x)=0得,x=1或x=a
f’(x)<0得,a<x<1,f’(x)>0得,x<a或x>1,
此时f(x)在[a,1]上单调递减,在(-∞,a)∪(1,+∞)上单调递增
②当a=1时,x∈R,f’(x)≥0,故f(x)在R上单调递增
③当a>1时,f’(x)=0得,x=1或x=a
f’(x)<0得,1<x<a,f’(x)>0得,x<1或x>a,
此时f(x)在[1,a]上单调递减,在(-∞,1)∪(a,+∞)上单调递增
(2)∵当a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]时,m-am²≥|f(x1)-f(x2)|
∴m-am²恒大于等于f(x)的最大值与最小值的差,且x∈[0,2]
∴由(1)可知,
当a∈[-3,0]时,f(x)在[a,1]上单调递减,在(-∞,a)∪(1,+∞)上单调递增
∴f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增
∴f(0)=0,f(1)=3a-1,f(2)=4,
∵a∈[-3,0],∴-10≤3a-1≤-1
∴|f(x1)-f(x2)|max=f(2)-(1)=5-3a
故原式变形为m-am²≥5-3a,a(m²-3)+5-m≤0
当m²-3=0时,原式为5-√3≤0不成立,故舍去
当m²-3<0时,原式为a≥(m-5)/(m²-3),故代入a=-3,解得无解,舍去
当m²-3>0时,原式为a≤(m-5)/(m²-3),故代入a=0,解得m≥5
∴综上,解得m≥5
.(我挨个字打上的,多来点奖励吧)
1 单调增(-无穷,0)并(1,+无穷),单调减(0,1)
2 因为f(0)=o f(2)=4 f(1)min=3a-1
所以|f(x1)-f(x2)| max=4-(3a-1)=5-3a
所以m-am2>=5-3a
所以a(m2-3)+5-m<=0 所以带入端点a=0和-3 都要成立 所以m>=5
综上。。。。