已知a∈R,函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax(1)求f(x)的单调区间 (2）若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]不等式 m-am^2≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 12:45:50
已知a∈R,函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax(1)求f(x)的单调区间 (2）若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]不等式 m-am^2≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围
已知a∈R,函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax
(1)求f(x)的单调区间 (2）若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]不等式 m-am^2≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围
已知a∈R,函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax(1)求f(x)的单调区间 (2）若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]不等式 m-am^2≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围
（1）
∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax,x∈R
∴f’（x）=6[x²-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）,
故,
①当a＜1时,f’（x）＝0得,x=1或x=a
f’（x）＜0得,a＜x＜1,f’（x）＞0得,x＜a或x＞1,
此时f（x）在[a,1]上单调递减,在（-∞,a）∪（1,+∞）上单调递增
②当a=1时,x∈R,f’（x）≥0,故f（x）在R上单调递增
③当a＞1时,f’（x）＝0得,x=1或x=a
f’（x）＜0得,1＜x＜a,f’（x）＞0得,x＜1或x＞a,
此时f（x）在[1,a]上单调递减,在（-∞,1）∪（a,+∞）上单调递增
（2）∵当a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2]时,m-am²≥|f(x1)-f(x2)|
∴m-am²恒大于等于f（x）的最大值与最小值的差,且x∈[0,2]
∴由（1）可知,
当a∈[-3,0]时,f（x）在[a,1]上单调递减,在（-∞,a）∪（1,+∞）上单调递增
∴f（x）在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增
∴f（0）=0,f（1）=3a-1,f（2）=4,
∵a∈[-3,0],∴-10≤3a-1≤-1
∴|f(x1)-f(x2)|max=f（2）-（1）=5-3a
故原式变形为m-am²≥5-3a,a(m²-3)+5-m≤0
当m²-3=0时,原式为5-√3≤0不成立,故舍去
当m²-3＜0时,原式为a≥（m-5）/（m²-3）,故代入a=-3,解得无解,舍去
当m²-3＞0时,原式为a≤（m-5）/（m²-3）,故代入a=0,解得m≥5
∴综上,解得m≥5
.（我挨个字打上的,多来点奖励吧）
1 单调增（-无穷，0）并（1，+无穷），单调减（0，1）
2 因为f（0）=o f（2）=4 f（1）min=3a-1
所以|f(x1)-f(x2)| max=4-（3a-1）=5-3a
所以m-am2>=5-3a
所以a(m2-3)+5-m<=0 所以带入端点a=0和-3 都要成立 所以m>=5
综上。。。。