高数中一元定积分求平面图形面积的疑问比如计算函数y^2=x和y=x^2在[0.1]上围城的面积.为什么要把一小段△x对应的矩形面积用dA（dA=f（ξ）dx,ξ∈[x,x+△x]）来表示?就是说dA为什么等于[x,x+△x]
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 19:13:29
高数中一元定积分求平面图形面积的疑问比如计算函数y^2=x和y=x^2在[0.1]上围城的面积.为什么要把一小段△x对应的矩形面积用dA（dA=f（ξ）dx,ξ∈[x,x+△x]）来表示?就是说dA为什么等于[x,x+△x]
高数中一元定积分求平面图形面积的疑问
比如计算函数y^2=x和y=x^2在[0.1]上围城的面积.
为什么要把一小段△x对应的矩形面积用dA（dA=f（ξ）dx,ξ∈[x,x+△x]）来表示?
就是说dA为什么等于[x,x+△x]上的矩形面积?
那f（ξ）就是A=g（x）在x点的导数?
不好意思我原问题没表达清楚，其实是这样。
假定函数y=f（x），A表示在区间[x0,x0+△x]上的曲边梯形面积。
在区间[x0,x0+△x]上以f（x0）为高，△x为底的矩形面积为什么可以用dA（A的微分）来表示？或者说如何理解A - A的微分=矩形上面一小段弧形的面积？
高数中一元定积分求平面图形面积的疑问比如计算函数y^2=x和y=x^2在[0.1]上围城的面积.为什么要把一小段△x对应的矩形面积用dA（dA=f（ξ）dx,ξ∈[x,x+△x]）来表示?就是说dA为什么等于[x,x+△x]
这个是积分的几何意义
用的是极限思想
dA就是将x分为无数个小块,然后用每个小块乘以f(x)（即它的高）
你先想象一个特殊情况：长方形
长方形也可以如此分块,分成无数个小长条.
f(x)dA用的就是这个思想,当△x→0之后,x就被分割了
所谓积分就是将所求面积细分为一系列的矩形，将其逐步细化后再求出众矩形的面积和作为所求面积，若直接取x点的值则始终是近似。现在知道若将矩形的数目无线增多，最后计算和的极限，得到的结果就可以用其导函数取得F(b)-F(a)
选矩形面积是因为矩形好算，实际取微元△x的形状也近似矩形。dA可能是delta area的意思，只是一个符号表示微元的面积而已。把导数的定义和几何学上的面积计算方式结合在一块就明白f（ξ）为什么是A=g（x）在x点的导数了。