已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,且过点(1,√2),斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).(1)求椭圆的方程;（2）求m的取值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 19:32:09
已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,且过点(1,√2),斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).(1)求椭圆的方程;（2）求m的取值
已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,且过点(1,√2),斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(1)求椭圆的方程;
（2）求m的取值范围.
已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,且过点(1,√2),斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).(1)求椭圆的方程;（2）求m的取值
(1)
将(1,√2)代入椭圆方程得,2/a^2+1/b^2=1……(1)
e=c/a=√((a^2-b^2)/a^2)=√2/2
推出a^2=2*b^2
再将上式代入(1),解得b=√2
从而a=2
椭圆方程即为y^2/4+x^2/2=1
(2)
c=√(a^2-b^2)=√2
直线I:y=k*x+√2
代入椭圆方程,整理得(k^2+2)x^2+2(√2)kx-2=0
记P、Q坐标为(x1,y1)(x2,y2),PQ中点坐标为(x0,y0)则
x1+x2=-√2k/(k^2+2)
x0=(x1+x2)/2=-√2k/(2*k^2+4)
将直线方程x=(y-√2)/k代入椭圆方程类似可得：
y0=√2/(k^2+2)
PQ斜率为k
所以PQ中垂线斜率为-1/k,又它过点(x0,y0)
推出PQ中垂线的方程为：y-y0=(-1/k)*(x-x0)与Y轴交于y0+x0/k
即m=(√2)/(2*k^2+4),而k^2>0（因为k不等于0）,所以0
当k趋于无穷,m趋于0
区间(0,(√2)/4)内的值都能取到
故m的取值范围是(0,(√2)/4)