设Q（x,y）在xoy平面上有一阶连续偏导数,曲线积分∫L 2xydx+Q（x,y）与路径无关,对任意t恒有∫L 2xydx+Q(x,y)dy从点（0,0）到（t,1）的积分等于从点（0,0）到（1,t）的积分,求Q（x,y）令P(X,Y)=2XY积分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 20:54:35
设Q（x,y）在xoy平面上有一阶连续偏导数,曲线积分∫L 2xydx+Q（x,y）与路径无关,对任意t恒有∫L 2xydx+Q(x,y)dy从点（0,0）到（t,1）的积分等于从点（0,0）到（1,t）的积分,求Q（x,y）令P(X,Y)=2XY积分
设Q（x,y）在xoy平面上有一阶连续偏导数,曲线积分∫L 2xydx+Q（x,y）与路径无关,对任意t恒有
∫L 2xydx+Q(x,y)dy从点（0,0）到（t,1）的积分等于从点（0,0）到（1,t）的积分,求Q（x,y）
令P(X,Y)=2XY
积分与路径无关,所以偏P偏y=偏Q偏x,即2x=偏Q偏x,所以Q=x^2+f(y)
现在要想方法解出f(y)
可用有向直线段依次连接（0,0）,（1,t),(t,1）.因积分与路径无关,所以在这样的封闭的三角形边上的积分∫L 2xydx+Q(x,y)dy=0,又“∫L 2xydx+Q(x,y)dy从点（0,0）到（t,1）的积分等于从点（0,0）到（1,t）的积分”,所以从（1,t)到（1,t)的直线上的积分∫ 2xydx+Q(x,y)dy=0,
可将x=-y+t+1带入到∫ 2xydx+Q(x,y)dy=0中,
得到∫ [2（-y+t+1）y]d（-y+t+1）+[（-y+t+1）^2+f(y)]dy=0(y从t到1)
怎么求f(y)?
设Q（x,y）在xoy平面上有一阶连续偏导数,曲线积分∫L 2xydx+Q（x,y）与路径无关,对任意t恒有∫L 2xydx+Q(x,y)dy从点（0,0）到（t,1）的积分等于从点（0,0）到（1,t）的积分,求Q（x,y）令P(X,Y)=2XY积分
本解答从这一步出发：
得到∫ [2（-y+t+1）y]d（-y+t+1）+[（-y+t+1）^2+f(y)]dy=0(y从t到1)
也即∫ [-2（-y+t+1）y]dy+[（-y+t+1）^2+f(y)]dy=0(y从t到1)
由此求f(y)的方法是,等式两边对t求导【在此只需将被积函数中的y换成t,取负号】,得到
2t-1-f(t)=0.