【数学期望】请解释步骤（2）如何得出的从1,2,3,...,N这N个数中任意取两个,求两数之积的数学期望 个体总数为C(N)(2)=N(N-1)/2 (1)和=1*2+1*3+...+1*N+2*3+2*4+...+2*N+3*4+...+3*N.+(N-1)N=((1+2+...+N)^2-(1^2+2^2+...+N^

【数学期望】请解释步骤（2）如何得出的从1,2,3,...,N这N个数中任意取两个,求两数之积的数学期望 个体总数为C(N)(2)=N(N-1)/2 (1)和=1*2+1*3+...+1*N+2*3+2*4+...+2*N+3*4+...+3*N.+(N-1)N=((1+2+...+N)^2-(1^2+2^2+...+N^
【数学期望】请解释步骤（2）如何得出的
从1,2,3,...,N这N个数中任意取两个,求两数之积的数学期望
个体总数为C(N)(2)=N(N-1)/2 (1)
和=1*2+1*3+...+1*N
+2*3+2*4+...+2*N
+3*4+...+3*N
.
+(N-1)N
=((1+2+...+N)^2-(1^2+2^2+...+N^2))/2 （2）
=((((N+1)N)/2)^2-N(N+1)(2N+1)/6)/2 (3)
所以期望(3)/(1)
iamxujian：怎么变成了取球？本人思维转化能力有限不好意思啦！
紫色智天使：我还以为你说的是“(1+2+...+N)^2
=(1^2+2^2+...+N^2)+2即任意两个数相乘的和”所以没看懂，你就当我是白痴吧！
lzq681026：不过我看晕了。你也无视我吧！
WUXINGUI悟心鬼:还是你的比较符合我的心意，就用你的好了！

【数学期望】请解释步骤（2）如何得出的从1,2,3,...,N这N个数中任意取两个,求两数之积的数学期望 个体总数为C(N)(2)=N(N-1)/2 (1)和=1*2+1*3+...+1*N+2*3+2*4+...+2*N+3*4+...+3*N.+(N-1)N=((1+2+...+N)^2-(1^2+2^2+...+N^
S=1*2+2*3+……+1*n+2*3+3*4+……+2*n+……+(n-1)*n
(1+2+……+n)^2=1^2+2^2+……+n^2+2S(书上P76第4题提供的公式）

(1+2+...+N)^2
=(1^2+2^2+...+N^2)+2（任意两个数相乘的和） 也就是你想要的那个两两积的和
这是一个恒等式。
（a+b)^2=a^2+b^2+2ab 中的ab一样。
（a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) 中的ab+bc+ca一样。
（a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(...

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(1+2+...+N)^2
=(1^2+2^2+...+N^2)+2（任意两个数相乘的和） 也就是你想要的那个两两积的和
这是一个恒等式。
（a+b)^2=a^2+b^2+2ab 中的ab一样。
（a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) 中的ab+bc+ca一样。
（a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) 中的ab+ac+ad+bc+bd+cd一样。
………………
这样你明白了吗
如果是第三步，(1^2+2^2+...+N^2)的计算，那应该是书上介绍过的公式。

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((1+2+...+N)^2-(1^2+2^2+...+N^2))/2
前者(1+2+...+N)^2, 是有序,有放回的取两个球的所有情况下积的和
(1^2+2^2+...+N^2), 是取了两个球相同时的积之和
(1+2+...+N)^2 - (1^2+2^2+...+N^2) 则是选取两个不同的球的情况下积的和
最后再除以P(2,2)=2, 就从有序取变成无序...

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((1+2+...+N)^2-(1^2+2^2+...+N^2))/2
前者(1+2+...+N)^2, 是有序,有放回的取两个球的所有情况下积的和
(1^2+2^2+...+N^2), 是取了两个球相同时的积之和
(1+2+...+N)^2 - (1^2+2^2+...+N^2) 则是选取两个不同的球的情况下积的和
最后再除以P(2,2)=2, 就从有序取变成无序取, 符合题意了.

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和=(1*2+1*3+...+1*N)+(2*3+2*4+...+2*N)+(3*4+...+3*N)+..... +(N-1)N
2×和=2×[(1*2+1*3+...+1*N)+(2*3+2*4+...+2*N)+(3*4+...+3*N)+..... +(N-1)N ]
=2×[(1*2+1*3+...+1*N)+( 2*3+2*4+...+2*N)+(3*4+...+3*...

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和=(1*2+1*3+...+1*N)+(2*3+2*4+...+2*N)+(3*4+...+3*N)+..... +(N-1)N
2×和=2×[(1*2+1*3+...+1*N)+(2*3+2*4+...+2*N)+(3*4+...+3*N)+..... +(N-1)N ]
=2×[(1*2+1*3+...+1*N)+( 2*3+2*4+...+2*N)+(3*4+...+3*N)+..... +(N-1)N]
=2(1*2+1*3+...+1*N)+2(2*3+2*4+...+2*N)+2(3*4+...+3*N)+..... +2(N-1)N
=(1*2+1*3+...+1*N)+ (1*2+2*3+2*4+...+2*N)+ (1*3+2*3+3*4+...+3*N)+…+[1*N+2*N+…+(N-1)N]
[说明：把2(1*2+1*3+...+1*N)分成(1*2+1*3+...+1*N)+ (1*2+1*3+...+1*N)，保留一个(1*2+1*3+...+1*N)，把另一个(1*2+1*3+...+1*N)每个括号内分给一个；把2(2*3+2*4+...+2*N)保留一个，并且加一个由(1*2+1*3+...+1*N)分来的1*2，另一个(2*3+2*4+...+2*N)平均分给后面的，依次类推]
=(1*1+1*2+1*3+...+1*N)+ (1*2+2*2+2*3+2*4+...+2*N)
+ (1*3+2*3+3*3+3*4+...+3*N)+…+[1*N+2*N+…+(N-1)N+ N*N]- 1*1-2*2-3*3-…- N*N
=(1+2+3+4+…+N)+2(1+2+3+4+…+N)+3(1+2+3+4+…+N)+…+N(1+2+3+4+…+N)-[ 1*1+2*2+3*3+…+(N-1)（N-1）+ N*N]
=(1+2+3+4+….+N) ^2-[ 1*1+2*2+3*3+…+(N-1)（N-1）+ N*N]
故：和=[(1+2+...+N)^2-(1^2+2^2+...+N^2)]/2

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