已知正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为2,侧棱长为3√2,点E在侧棱AA'上,点F在侧棱BB'上,且AE=2√2,BF=√2.1.求证：CF垂直于C'E；2.求二面角E-CF-C'的大小.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 16:05:21
已知正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为2,侧棱长为3√2,点E在侧棱AA'上,点F在侧棱BB'上,且AE=2√2,BF=√2.1.求证：CF垂直于C'E；2.求二面角E-CF-C'的大小.
已知正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为2,侧棱长为3√2,点E在侧棱AA'上,点F在侧棱BB'上,且AE=2√2,
BF=√2.
1.求证：CF垂直于C'E；
2.求二面角E-CF-C'的大小.
已知正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为2,侧棱长为3√2,点E在侧棱AA'上,点F在侧棱BB'上,且AE=2√2,BF=√2.1.求证：CF垂直于C'E；2.求二面角E-CF-C'的大小.
第一个问题：
∵ABC－A′B′C′是正三棱柱,∴CF^2＝BC^2＋BF^2＝4＋2＝6.
过C′作C′D∥CF交BB′的延长线于D,则CFDC′是平行四边形,∴C′D^2＝CF^2＝6.
过D作DG∥BA交AA′的延长线于G,则B′DGA′是平行四边形,∴B′D＝A′G、DG＝A′B′＝2.
∵CFDC′是平行四边形,∴B′D＝FD－FB′＝CC′－FB′＝BB′－FB′＝BF＝√2,∴A′G＝√2.
∴DE^2＝DG^2＋EG^2＝4＋（A′G＋A′E）^2＝4＋（√2＋AA′－AE）^2
＝4＋（√2＋3√2－2√2）^2＝12.
C′E^2＝A′E^2＋AC^2＝（AA′－AE）^2＋4＝（3√2－2√2）^2＋4＝6.
显然有：C′E^2＋C′D^2＝DE^2＝12,∴C′D⊥C′E,结合C′D∥CF,得：CF⊥C′E.
第二个问题：
C′F^2＝（CC′－BF）^2＋BC^2＝（3√2－√2）^2＋4＝12.
由第一个问题的证明过程,有：CF^2＝6.
显然CC′^2＝18. ∴C′F^2＋CF^2＝CC′^2＝18,∴C′F⊥CF.
EF^2＝（AE－BF）^2＋AB^2＝（2√2－√2）^2＋4＝6.
CE^2＝AE^2＋AC^2＝8＋4＝12,又CF^2＝6,∴EF^2＋CF^2＝CE^2,∴EF⊥CF.
由C′F⊥CF、EF⊥CF,得：∠C′FE就是二面角E－CF－C′的平面角.
由EF^2＝6、C′F^2＝12、C′E^2＝6,得：EF^2＋C′E^2＝C′F^2,∴∠C′FE＝90°.
即：二面角E－CF－C′的大小为90°.