正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长a,过BC的一个平面与地面成30度的二面角交侧棱柱AA'于D,求三棱柱D-ABC体积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 07:49:09
正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长a,过BC的一个平面与地面成30度的二面角交侧棱柱AA'于D,求三棱柱D-ABC体积
正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长a,过BC的一个平面与地面成30度的二面角交侧棱柱AA'于D,求三棱柱D-ABC体积
正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长a,过BC的一个平面与地面成30度的二面角交侧棱柱AA'于D,求三棱柱D-ABC体积
郭敦顒回答：
在“三棱柱D-ABC”中,“D-ABC”的表示为三棱锥,按求三棱锥D-ABC体积回答——
取BC中点G,连AG,则AG⊥BC,平面A′AG⊥平面ABC,在平面A′AG上作
∠AGD=30°交A′A于D,连DB、DC,则平面DBC在过BC的一个平面上,其与地面成30度的二面角为D—BC—A,∠AGD为此二面角的平面角,
AG=α（1/2）√3,GD=α,DA=α/2,DA是三棱锥D-ABC的高,
∴三棱锥D-ABC体积=（1/3）AG•BC•DA/2=（1/3）α（1/2）√3 •α（α/2）/2
=[（1/24）√3] α³,
三棱锥D-ABC体积=[（1/24）√3] α³.
C′
A′
B′
C
D
G
A
B
边长为a的正三角形，高为a×√3/2=（√3/2）a
因为过BC的一个平面与地面成30度的二面角交侧棱柱AA'于D，
所以AD=（√3/2）a÷√3=a/2
所以体积为1/3×（a×（√3/2）a÷2×a/2）=（√3/24）a^3