数学难题：求夹角的余弦值是多少?从空间一定点O引四条射线OA、OB、OC、OD使其任何两条射线的夹角都相等,求夹角的余弦值是多少?因本人已有四十五年没研究过解析几何了故忘了很多！就连

数学难题：求夹角的余弦值是多少?从空间一定点O引四条射线OA、OB、OC、OD使其任何两条射线的夹角都相等,求夹角的余弦值是多少?因本人已有四十五年没研究过解析几何了故忘了很多！就连
数学难题：求夹角的余弦值是多少?
从空间一定点O引四条射线OA、OB、OC、OD使其任何两条射线的夹角都相等,求夹角的余弦值是多少?
因本人已有四十五年没研究过解析几何了故忘了很多！就连基本的余弦定理公式都忘了！本题其实不难，谁告诉我余弦定理的计算公式如已知三边a,b,c的长度，求角A的余弦值，那么本老头就一定会解决这个问题，请回答者告诉我公式吧！因我懒得去借书。
谢谢二楼！若三天内还无人解答此题那只好自己解决了！按二楼提供的公式这个夹角的余弦值应是-1/3。本题无需动用到球的知识，只用勾股定理与余弦定理即可解决问题。设O为棱长为1的正三棱锥的高DE上的点，作EF⊥AB交于F，连结AO、FO。则AE=√3/3,DE=√6/3,EF=√3/6。AF=1/2。设OE=x,则OD=AO=√6/3-x,利用FO为中介列方程(√6/3-x)^2-(1/2)^2=x^2+(√3/6)^2解得x=√6/12,则OD=AO=√6/3-√6/12=√6/4故夹角AOD的余弦值=[(√6/4)^2+(√6/4)^2-1^2]/[2*(√6/4)*√6/4)]=-1/3。这是学生在没有学到球的有关知识之前的解答方法。在这里谢谢各位大师积极参与！

数学难题：求夹角的余弦值是多少?从空间一定点O引四条射线OA、OB、OC、OD使其任何两条射线的夹角都相等,求夹角的余弦值是多少?因本人已有四十五年没研究过解析几何了故忘了很多！就连
O为正三棱锥外接球心
　　外接球心在顶点与底面重心的连线的距顶点3/4处
　　相关计算：因为正三棱锥底面为正三角形,所以高线位于任意顶点与底边中点连线,又三线合一,所以重心位于高线距顶点2/3处,即可算出顶点与重心的距离,又知正三棱锥边长,即可根据勾股定理算出圆心所在直线（即顶点与底面重心的连线）的长度,即可算出顶点与球心的距离（即外接球半径）.
具体计算
设正三棱锥棱长为1
顶点与底面重心的连线 根号（2/3）
OA=3/4* 根号（2/3）
余弦定理
三角形OAB
OA=OB=3/4* 根号（2/3）
AB=1
角AOB为a
cosa = (OA² + OB² - AB²) / (2·OA·OB) =-1/3

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——
　　a² = b²+ c² - 2·b·c·cosA
　　b² = a² + c² - 2·a·c·cosB
　　c² = a² + b² - ...

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对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——
　　a² = b²+ c² - 2·b·c·cosA
　　b² = a² + c² - 2·a·c·cosB
　　c² = a² + b² - 2·a·b·cosC
　　cosC = (a² + b² - c²) / (2·a·b)
　　cosB = (a² + c² -b²) / (2·a·c)
　　cosA = (c² + b² - a²) / (2·b·c)

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将OA、OB、OC、OD作为4段长度相同的线段来处理（因为不影响结果）
1、如果四点在同一平面，则夹角为90°，余弦值为0
2、如果四点不在同一平面，那么有题目给出的条件以及4段线段长度相同可以得出ABC，ACD、ABD以及BCD都为等边三角形，所以ABCD为等边三棱锥，然后算出O点在这个三棱锥中的位置以及证明这个点的唯一性，便可以算出结果了。
（这个题目不错，很少遇到这样...

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将OA、OB、OC、OD作为4段长度相同的线段来处理（因为不影响结果）
1、如果四点在同一平面，则夹角为90°，余弦值为0
2、如果四点不在同一平面，那么有题目给出的条件以及4段线段长度相同可以得出ABC，ACD、ABD以及BCD都为等边三角形，所以ABCD为等边三棱锥，然后算出O点在这个三棱锥中的位置以及证明这个点的唯一性，便可以算出结果了。
（这个题目不错，很少遇到这样的好题目）

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夹角余弦值= -1/3
利用正三棱锥，中心点向四个顶点引射线，得到四条射线，因为完全的对称，故两两夹角相等从而可以解出答案。即使甲烷（CH4）的空间结构，解出夹角为109°28′，化学上对这个角度应该很熟悉。
希望可以帮助到你。

依次在四条射线OA、OB、OC、OD上截取线段OA'=OB'=OC'=OD'=1
则以A'、B'、C'、D'为顶点的正四面体外接球半径为1
正四面体 A'B'C'D'的 高为 h=1÷(3/4)=4/3
正四面体A'B'C'D'的棱长为 L=1÷(√6/4)=2√6/3
任何两条射线夹角(以∠AOB 为例)的余弦值是
cos∠AOB = ( 1&#...

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依次在四条射线OA、OB、OC、OD上截取线段OA'=OB'=OC'=OD'=1
则以A'、B'、C'、D'为顶点的正四面体外接球半径为1
正四面体 A'B'C'D'的 高为 h=1÷(3/4)=4/3
正四面体A'B'C'D'的棱长为 L=1÷(√6/4)=2√6/3
任何两条射线夹角(以∠AOB 为例)的余弦值是
cos∠AOB = ( 1²+ 1² -(2√6/3)² ) / (2*1*1) =(2-8/3)/2=-1/3
或:
cos∠OAB=h/L=4/(2√6)=√6/3
cos∠AOB=cos(π-2∠OAB)=-cos(2∠OAB)=-(2*cos²∠OAB-1)=-(2*6/9-1)=-1/3

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三条射线OA，OB，OC为三棱锥的三条棱，OD为三棱锥高的反向射线。
设棱长为a，底边为b
则OA，OB，OC夹角余弦为(2a^2-b^2)/2a^2
要使OD和三棱夹角两两相等，三棱锥的高应该为(b^2-2a^2)/2a
可求得b^2=(8/3)a^2
所以，余弦值为-(1/3)

过A作AE垂直于平面BCD，由于是正三棱锥，所以AE过O点。连接BE。
三棱锥的性质见百科：
http://baike.baidu.com/view/1708844.htm
“外接球心在顶点与底面重心的连线的距顶点3/4处。”
那么就是说，OE/OA=1/3
由于正三棱锥三心合一，所以O到各顶点长度相等，OB=OA。
那么在直角三角形BOE中，COS...

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过A作AE垂直于平面BCD，由于是正三棱锥，所以AE过O点。连接BE。
三棱锥的性质见百科：
http://baike.baidu.com/view/1708844.htm
“外接球心在顶点与底面重心的连线的距顶点3/4处。”
那么就是说，OE/OA=1/3
由于正三棱锥三心合一，所以O到各顶点长度相等，OB=OA。
那么在直角三角形BOE中，COS角BOE=OE/OB=1/3。
你要求的不就是COS角AOB么，角AOB和BOE互为补角，所以余弦互为相反数。
所以COS角AOB=-1/3
这不是一看就出来了么？哪需要用余弦定理那么麻烦……懂点基本的立体几何知识，再有点空间想象力也就直接解决了。

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由已知得，O为正三棱锥的中心，取OA=OB=OC=OD，得到正三棱锥D-ABC，O为中心点
过D向底面ABC作垂线，垂线必过O点，交底面ABC于M，连接AO，AM
设正三棱锥棱长为2，在等边△ABC中，易得AM²=4/3,在△OAM中，OA²-OM²=AM²，即OA²=OM²+AM²=OM²+4/3①<...

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由已知得，O为正三棱锥的中心，取OA=OB=OC=OD，得到正三棱锥D-ABC，O为中心点
过D向底面ABC作垂线，垂线必过O点，交底面ABC于M，连接AO，AM
设正三棱锥棱长为2，在等边△ABC中，易得AM²=4/3,在△OAM中，OA²-OM²=AM²，即OA²=OM²+AM²=OM²+4/3①
在△DAM中，AD²=AM²+DM²=AM²+（OD+OM）²=AM²+（OA+OM）²，
得（OA+OM）²=AD²-AM²=4-4/3=8/3，即OA+OM=√（8/3），OM=√（8/3）-OA带入①得
OA²=（√（8/3）-OA）²+4/3=8/3-2√（8/3）OA+OA²+4/3，两边OA²约掉得：
OA=√6/2
根据cosA = (c² + b² - a²) / (2·b·c) ，
得OA与OD的夹角的余弦cosAOD=（OA²+OD²-AD²）/（2OA·OD）=（OA²+OA²-AD²）/（2OA·OA）=（2OA²-AD²）/2OA²，解得cosAOD=-1/3

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