如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的动点1.E恰为棱CC1的中点是,求证,平面A1BD⊥平面EBD2.在1.的条件下,求VA1-BDE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 20:36:57
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的动点1.E恰为棱CC1的中点是,求证,平面A1BD⊥平面EBD2.在1.的条件下,求VA1-BDE
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的动点
1.E恰为棱CC1的中点是,求证,平面A1BD⊥平面EBD
2.在1.的条件下,求VA1-BDE
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的动点1.E恰为棱CC1的中点是,求证,平面A1BD⊥平面EBD2.在1.的条件下,求VA1-BDE
用数量关系来求解吧
（1）如图连接各点,F为底面ABCE的中心点
∵ 在正方体的棱长为a,E 为棱CC1的中点
∴ CE = a/2,AF = CF = √2a/2
在平面AA1C1C内,A1A ⊥平面ABCD,CC1⊥平面ABCD,CC1⊥平面A1B1C1D1
∴ A1A ⊥AF,CC1⊥CF,CC1⊥A1C1
∴ △A1AF是直角三角形,△ECF是直角三角形,△EA1C1是直角三角形
根据勾股定理,有
∴ (A1F)² = (A1A)² + (AF)² = a² + (√2a/2)² = 6a²/4
(EF)² = (EC)² + (CF)² = (a/2)² + (√2a/2)² = 3a²/4
(A1E)² = (A1C1)² + (EC1)² = (√2a)² + (a/2)² = 9a²/4
∴ (A1F)² + (EF)² = (A1E)²
∴ △A1EF是直角三角形,∠A1FE = 90°
∴ A1F ⊥EF
在平面ABCD中,AC⊥BD,又CC1⊥BD平面ABCD
∴ BD⊥平面AA1C1C
∴ BD⊥A1F,BD⊥EF
∴ ∠A1FE 是平面A1BD 和平面EBD的二面角
∵ 又已经证明 ∠A1FE = 90°
∴ 平面A1BD⊥平面EBD
（2）
∵ 平面A1BD⊥平面EBD
∴ 三角锥A1-BDE是一个直角三角锥
∴ 三角锥A1-BDE的体积 V = 1/3 × 底面积A1BD × 高EF
∵ BD⊥平面AA1C1C
∴ BD⊥A1F
∴ △A1BD的面积 = 1/2 × BD × A1F =1/2 × √2a × √3a/2 = √6a/4
∴ 三角锥A1-BDE的体积 V = 1/3 × √6a/4 × √3a/2 = √2a²/8