如图所示,在三角形ABC中,∠A：∠B：∠C=1：2：4 求证：1/AB+1/AC=1/BC

如图所示,在三角形ABC中,∠A：∠B：∠C=1：2：4 求证：1/AB+1/AC=1/BC
如图所示,在三角形ABC中,∠A：∠B：∠C=1：2：4 求证：1/AB+1/AC=1/BC

如图所示,在三角形ABC中,∠A：∠B：∠C=1：2：4 求证：1/AB+1/AC=1/BC
证法一：
延长BC至E,使得AE=AC；延长AB至D,使得BD=AC；连接DE.
∠A:∠B:∠C＝1:2:4,则∠A=180/7,∠B=360/7,∠C=720/7,
∠EAC=180－2×(180/7＋360/7)=180/7,∴∠EAD=180/7＋180/7=360/7=∠ABC；
∴BE=AE=AC=BD,∠D=(360/7)÷2=180/7=∠BAC.
三角形ABC与ADE相似,AD:AB=AE:BC,
即：（AB＋AC）/AB=AC/BC,1/AB＋1/AC=1/BC.
证法二：
要证1/AB＋1/AC=1/BC,等式两边同乘三角形面积的2倍可知,即证AB、AC边上的高之和等于BC边上的高,即图中的AF=CD＋BE.（CD、BE、AF为三条高线）
∠A:∠B:∠C＝1:2:4,则∠A=180/7,∠B=360/7,∠C=720/7,
作角B和角C的平分线,分别交AC、AB于H、G,则∠CHB=360/7∠CBA,∠CGB=180－2×360/7=540/7,∠ECB=∠FCA=180/7＋360/7=540/7,所以,三角形CDG、BEC、AFC相似.
在AC上取一点P,使得CP=CB.过P作BC的平行线,交AF于N；过N作AC的平行线,交CF于M.
则三角形NFM与BEC全等,NF=BE.
连接PG,三角形CPG与CBG全等,所以,PG=BG=GC.
于是可知,三角形APG和PGC均为等腰三角形,则AP=PG=CG.
所以,三角形ANP全等于三角形 CDG,AN=CD.
所以,AF=AN＋NF=CD＋BE.即：1/AB＋1/AC=1/BC.

用三角函数很容易证明。平面几何也能证明
作∠EAC=∠BAC，交BC的延长线于E（不需要D）
1) ∠EAB=∠EBA=(2/7)*180° => EB=EA
2) ∠AEC=∠ACB-∠EAC=(4/7)*180°-(1/7)×180°=(3/7)*180°，∠ACE=180°-∠ACB=(3/7)*180° => ∠AEC=∠ACE => AE=AC
3) 由∠...

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用三角函数很容易证明。平面几何也能证明
作∠EAC=∠BAC，交BC的延长线于E（不需要D）
1) ∠EAB=∠EBA=(2/7)*180° => EB=EA
2) ∠AEC=∠ACB-∠EAC=(4/7)*180°-(1/7)×180°=(3/7)*180°，∠ACE=180°-∠ACB=(3/7)*180° => ∠AEC=∠ACE => AE=AC
3) 由∠EAC=∠BAC，根据角平分线定理有AE/AB=EC/BC，又AE=AC，EC=EB-BC=EA-BC=AC-BC，带入得AC/AB=(AC-BC)/BC，即AC*AB=AC*BC+AB*BC，两边除以AC*AB*BC得1/BC=1/AB+1/AC

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作∠EAC=∠BAC，交BC的延长线于E（不需要D）
1) ∠EAB=∠EBA=(2/7)*180° => EB=EA
2) ∠AEC=∠ACB-∠EAC=(4/7)*180°-(1/7)×180°=(3/7)*180°，∠ACE=180°-∠ACB=(3/7)*180° => ∠AEC=∠ACE => AE=AC
3) 由∠EAC=∠BAC，根据角平分线定理有AE/AB=...

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作∠EAC=∠BAC，交BC的延长线于E（不需要D）
1) ∠EAB=∠EBA=(2/7)*180° => EB=EA
2) ∠AEC=∠ACB-∠EAC=(4/7)*180°-(1/7)×180°=(3/7)*180°，∠ACE=180°-∠ACB=(3/7)*180° => ∠AEC=∠ACE => AE=AC
3) 由∠EAC=∠BAC，根据角平分线定理有AE/AB=EC/BC，又AE=AC，EC=EB-BC=EA-BC=AC-BC，带入得AC/AB=(AC-BC)/BC，即AC*AB=AC*BC+AB*BC，两边除以AC*AB*BC得1/BC=1/AB+1/AC

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