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来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 15:21:58
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谁会做“第九届北京高中数学知识应用竞赛初赛”试题
一只老鼠为了躲避猫的追捕,跳入了半径为R的圆形湖中,只能沿湖岸追击,并且总是试图使自己离老鼠最近(即猫总是试图使自己在老鼠离岸最近的点上),设猫在陆地上的最大速度是老鼠在湖中游泳的最大速度的4倍,问老鼠能否摆脱猫的追击?(如果老鼠上岸时猫不在老鼠上岸的位置,则认为老鼠摆脱了猫的追击)

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以湖的中心为圆心,R/4为半径做一个圆.如果老鼠沿着这个圆游泳,那么水中的老鼠和岸上的猫就具有相同的角速度,如果老鼠游泳的半径略小于R/4,设为R',就会拥有比猫更大的角速度,若老鼠游的时间足够长,完全可以领先猫180度,即老鼠在原点左侧略小于R'处,而猫在原点右侧R处.那么现在老鼠要游R-R',而猫要跑3.14*R
只要
4*(R-R')<3.14*R .(1)即老鼠在上岸时猫还没有跑到上岸地点,且
R'

第九届?没有题目,怎么做?

不能
因为如果老鼠在湖中央,它无论向那个方向跑,它到岸的时间是 R/v 而猫到那一点的时间是
(¼ *pai*2*R )/4v = (pai/8)(R/v) < R/v
所以老鼠跑不掉。

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