任意复可逆矩阵A以及正整数m,存在矩阵B,使得B的m次方等于A,这个应该如何证明?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 18:56:26
任意复可逆矩阵A以及正整数m,存在矩阵B,使得B的m次方等于A,这个应该如何证明?
任意复可逆矩阵A以及正整数m,存在矩阵B,使得B的m次方等于A,这个应该如何证明?
任意复可逆矩阵A以及正整数m,存在矩阵B,使得B的m次方等于A,这个应该如何证明?
复数域内可逆矩阵A必定可以对角化,对角化之后直接开根号再变回来就行了.
可对角化是因为矩阵A特征值的几何重数等于A的代数重数
具体点说,显然A的特征值都是非零的.
证明：A是正定矩阵=>A是是对称矩阵，所以A可对角化，即存在正交矩阵P和对角矩阵C使得A=（P^T）CP，这里P^T表示P的转置。（注意P是正交矩阵，所以P的逆和P的转置相同。）由于A是正定阵，则对角阵C的主对角元上的元素均为正实数，构造对角阵D，使D的主对角线元素正好是C的主对角元素开m次方。则D^m=C。令B=（P^T）DP，则B是正定矩阵。（首先B是对称矩阵，其次因为B和D相似，而D的特征值...
全部展开
证明：A是正定矩阵=>A是是对称矩阵，所以A可对角化，即存在正交矩阵P和对角矩阵C使得A=（P^T）CP，这里P^T表示P的转置。（注意P是正交矩阵，所以P的逆和P的转置相同。）由于A是正定阵，则对角阵C的主对角元上的元素均为正实数，构造对角阵D，使D的主对角线元素正好是C的主对角元素开m次方。则D^m=C。令B=（P^T）DP，则B是正定矩阵。（首先B是对称矩阵，其次因为B和D相似，而D的特征值均为正，所以B的特征值也均为正。）且B^m=(（P^T）DP)^m=（P^T）D^mP=（P^T）CP=A。
收起
只要会对Jordan块开方就行了
对任何λ≠0, 注意f(z)=z^{1/m}在z=λ附近是解析的, 可以做Taylor展开f(z)=f(λ)+f'(λ)(z-λ)+...
对k阶Jordan块把上述展开式展开到k-1次就够了首先谢谢您，您的思路好高深，不过我对若尔当块开方很陌生，所以可不可以请您再说的具体一些？或者上个图？不胜感激啊回答的后面两行就是"具体一些", 多看几遍, 再...
全部展开
只要会对Jordan块开方就行了
对任何λ≠0, 注意f(z)=z^{1/m}在z=λ附近是解析的, 可以做Taylor展开f(z)=f(λ)+f'(λ)(z-λ)+...
对k阶Jordan块把上述展开式展开到k-1次就够了
收起