一道初三的数学竞赛题D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：（1）MN=BM+CN（2）F为AD的中点（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 13:43:20
一道初三的数学竞赛题D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：（1）MN=BM+CN（2）F为AD的中点（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2
一道初三的数学竞赛题
D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：
（1）MN=BM+CN
（2）F为AD的中点
（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2
一道初三的数学竞赛题D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：（1）MN=BM+CN（2）F为AD的中点（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2
三问可以互相推导,证明尽量点名要点,不细说
证法一：
点的标注如图所示,假设圆I1的半径为R,圆I2的半径为r
1) 显然2PQ=2(DP-DQ)=2(DR-DS)=(BD+AD-AB)-(CD+AD-AC)=BD-CD=(DR-DS)+(BR-CS),于是PQ=DR-DS=BR-CS
2) 又PQ=FQ-FP=FH-FG,和1)的结论比较,有BR-CS=FH-FG
3) 很容易证明△BRI1相似于△I2SC（提示：∠I1BR=(1/2)∠ABD,∠I2CS=(1/2)∠ACD,∠ABD+∠ACD=180°）,于是BR*CS=R*r
4) 很容易证明△FGI1相似于△I2HF（提示：∠I1FG=(1/2)∠GFD,∠I2FH=(1/2)∠HFD,∠GFD+∠HFD=180°）,于是FH*FG=R*r
5) 比较3)、4)的结论有BR*CS=FH*FG,结合2)的结论可知BR=FH,CS=FG
第一问：
6) 根据5)的显然有MN=BM+CN
第二问：
7) 证明AD=BD+CD.直接的证明是根据托勒密定理：AD*BC=AC*BD+AB*CD,于是AD=BD+CD.简单的证明可以在AD上取点E,使得DE=BD,然后证明△ABE≌△CBD
8) 显然MF+BD=BM+DF,NF+CD=CN+DF,两式相加并利用6)、7)的结论化简有AD=2DF,于是F是AD的中点
第三问：
9) 利用3)、5)的结论,有I1I2^2=(R-r)^2+(FH+FG)^2=(R-r)^2+(BR+CS)^2=(R^2+BR^2)+(r^2+CS^2)+2(BR*CS-R*r)=BI1^2+CI2^2
证法二：
取△BCD的内心I3,显然I3在AD上
1) 根据∠I1BI3=∠I3DI1=30°可知I1、I3、D、B四点共圆,并且BI1=I3I1
2) 根据∠I2CI3=∠I3DI2=30°可知I2、I3、D、C四点共圆,并且CI2=I3I2
3) 根据1)、2)的结论,易知∠I1I3I2=90°,于是I1I2^2=I1I3^2+I2I3^2=BI1^2+CI2^2
第三问得证.然后可以证明第一问（需要利用BR*CS=R*r）,然后可以证明第二问
有空来解决，先做个记号
.......明天给你 （3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2 这什么意思!
本人初二，自认智商很高。
有难度，介绍点定理来。没基础。