若对于任意实数x>0 ,x+1/(x+a)>a 恒成立,则实数a 的取值范围是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:01:56
若对于任意实数x>0 ,x+1/(x+a)>a 恒成立,则实数a 的取值范围是
若对于任意实数x>0 ,x+1/(x+a)>a 恒成立,则实数a 的取值范围是
若对于任意实数x>0 ,x+1/(x+a)>a 恒成立,则实数a 的取值范围是
x+1/(x+a)＞a
x+1/(x+a)-a＞0
[x+1-a(x+a)]/(x+a)＞0
(x+1-ax-a^2)/(x+a)＞0
[（1-a）x+1-a^2)]/(x+a)＞0
[(1-a)x+(1-a)(1+a)]/(x+a)＞0
讨论
1）1-a＞0
(x+1+a)/(x+a)＞0
1+1/(x+a)＞0恒成立
看成反比例函数1/x的平移,
保证x=-a这条垂直的渐近线≤0即可
综合得0≤a＜1
2）1-a＜0
要保证1+1/(x+a)＜0恒成立
显然x趋向于+∞时,1/(x+a)趋向于0,函数存在一个无限接近1的数值,此数值不满足＜0,这种情况舍去.（由图像也可知）
3）1-a=0,显然不成立.
综上的0≤a＜1
x+1/(x+a)＞a
x+1/(x+a)-a＞0
[x+1-a(x+a)]/(x+a)＞0
(x+1-ax-a^2)/(x+a)＞0
[（1-a）x+1-a^2)]/(x+a)＞0
[(1-a)x+(1-a)(1+a)]/(x+a)＞0
(x+1+a)/(x+a)＞0（1-a≠0）
即x＜-1-a或x＞-a，所以-a＜0,所以a＞0
你好！
令f(x) = x+ 1/(x+a) - a ，x>0
f'(x) = 1 - 1/(x+a)²
f(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立
则f(x)在(0,+∞)有意义
∴a≥0
当a≥1时，f'(x) ≥0 ，f(x)是增函数
只需 f(0) = 1/a - a = (1+a)(1-a) /a ≥ 0
解得a≤1 ∴...
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你好！
令f(x) = x+ 1/(x+a) - a ，x>0
f'(x) = 1 - 1/(x+a)²
f(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立
则f(x)在(0,+∞)有意义
∴a≥0
当a≥1时，f'(x) ≥0 ，f(x)是增函数
只需 f(0) = 1/a - a = (1+a)(1-a) /a ≥ 0
解得a≤1 ∴a=1
当0≤a<1时，f'(x) =0得 x= 1-a
0
只需f(x)最小值 f(1-a) = 2-2a >0 a<1
∴0≤a<1
综上，a∈[0,1]
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