怎样才能把分数与百分数应用题讲解清楚?

怎样才能把分数与百分数应用题讲解清楚?
怎样才能把分数与百分数应用题讲解清楚?

怎样才能把分数与百分数应用题讲解清楚?
分数、百分数的知识,在日常生活和生产建设中有着广泛的应用,也是小学数学的一个重要内容.如何改进并加强分数、百分数应用题教学,使它们能够恰当地反映实际应用,从而激发学生学习的兴趣,增强学习目的性和实践性,真正做到提高教学质量,重要的是认真贯彻教学大纲的要求.对此,根据《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》（以下简称“新大纲”）的有关精神,谈几点个人认识和学习体会.
新大纲规定分数四则应用题,包括工程问题；百分数的实际应用包括发芽率、合格率、利息等计算,最多不超过三步计算,而且只限于比较容易的.这就从内容上和难度上作了具体的限制,有利于保证基本的知识和解题能力的落实,防止任意拔高要求,人为地编造出许多不切实际的难题,加重学生的学习负担.
新大纲对于分数、百分数应用题的教学要求,大致提出了以下三个方面的要求.
一、会解答分数、百分数应用题
会解答分数、百分数应用题的要求,一般是指能够理解应用题的题意,掌握最基本的数量关系,正确判别计算的方法,会列式计算,并且善于检验解答的合理性与准确性.
由于分数、百分数应用题的数量关系,跟整数应用题相比,既有共性,又有它们的特殊性,要求学生既了解其共性,又能懂得它们的特殊性,使学生的认知水平有所提高.对此,略举数例如下.
1.分数加、减法应用题
分数加、减法应用题中的已知分数有两种情况：一种是表示具体的数量,另一种是表示两个量的比.譬如：
①食堂第一天烧煤吨,第二天烧煤吨,两天共烧煤多少吨? 题中已知的分数,都表示具体的数量,跟整数里求和应用题的数量关系是一致的,要求学生知道这是求两个相同单位的量的和.
②食堂有一批煤,第一天烧去这批煤的,第二天烧去这批煤的,两天共烧去这批煤的几分之几?题中已知的分数,都是两个量的比,而不是具体的数量.数量关系虽然跟整数里求和应用题是一致的,这是共性；但是,学生要理解题中的、以及求出的和,都是对这批煤而言的,不是具体的量.
③地球表面积的是海洋,剩下的是陆地,陆地占地球表面积的几分之几?这一题的数量关系跟整数里求剩余数,用减法计算是一致的,这是共性,可是题中只给出一个已知条件是,另一个条件要学生自己想象整个地球表面积看作“1”,然后用1－＝,这就是与整数应用题不同的特殊性.
2.分数、百分数乘、除法应用题
分数乘、除法应用题,既含有整数乘、除法应用题的数量关系,又具有新的数量关系,要求学生能够辨析清楚.譬如：
①一辆汽车平均每分钟行千米,30分钟行多少千米?这种题的数量关系跟整数里求相同加数的和,或者说求的30倍是一致的.
②10个鸡蛋重千克,平均每个鸡蛋重多少千克?这种题的数量关系跟整数除法题是一致的.
分数乘、除法应用题,既含有整数乘、除法应用题的数量关系,又具有新的数量关系,通常分为三种情况,或者叫做分数的三种基本应用题：（1）求一个数是另一个数的几分之几的除法应用题.（2）求一个数的几分之几是多少的乘法应用题.（3）已知一个数的几分之几是多少,求这个数的除法应用题.（新大纲中没有这些名称,笔者为了便于分析,沿用了这些习惯名称）上面三种情况中的几分之几,如果是百分数,那末这三种情况就是百分数的三种基本应用题.这里,还得说明,新大纲只是要求教学分数四则应用题包括工程问题,以及百分数的实际应用问题,没有具体规定教学哪些内容的应用题.考虑到各种不同风格的教材,可能会有所取舍,因而还是按现行通用教材的内容,研究教学的要求,供选择参考.
（1）求一个数是另一个数的几（百）分之几的应用题.
在实际生活中,经常需要比较两个数量的倍数关系,当它们的倍数等于1或大于1的时候,通常称为“几倍”；当它们的倍数小于1的时候,通常称为“几分之几”.在小学里,学生学习整数应用题的时候,只知道一个数是另一个数几倍.如：白兔16只,黑兔4只,白兔只数是黑兔的16÷4＝4（倍）.那时,学生只知道两个数量相比较的一个侧面,到了学习分数以后,黑兔的只数也可以与白兔去比较,即黑兔的只数是白兔的4÷16＝.当他们学习了百分数以后,应当让他们知道：求一个数是另一个数的几倍或几分之几,就统一为一个数是另一个数的百分之几了.
这类问题的数量关系跟整数里求两个数的倍数是一致的,要求学生掌握谁与谁相比较.如,甲是乙的几分之几,是用甲与乙相比较,那么乙是标准的量,甲是比较的量.并且知道用标准的量作除数.
可是,百分数在实际应用上,还有一些特殊性.求一个数是另一个数的百分之几,也叫做两个数的百分比或百分率.例如,产品合格率,种子发芽率,工人出勤率,存款的利息率,向国家交税的纳税率等.要使学生知道所求的这些“率”,都是用百分数表示的,所以,在这些百分率的公式里,添上乘以100％,表示求得的结果必须用百分数表示.如,
小麦出粉率＝×100％
在百分数里,经常会遇到除不尽的情况,应该让学生知道,除了指定精确度的以外,一般除到小数第四位,即万分位,然后四舍五入取三位小数,化成百分数后,百分号前面的数保留一位小数.并且知道百分号前面通常写成小数形式,不用带分数的形式,如通常写成33.3％.
（2）求一个数的几分之几或百分之几是多少的乘法应用题.
新大纲在整数应用题里,增加了求一个数的几分之一或几分之几是多少的内容,那时是用整数乘、除法计算的.例如,有学生600人,其中十分之九（或）是少先队员,求少先队员有多少人.这就是把600人分成10等份,求出的是的人数,再乘以9,就是的人数,列式为：600÷10×9＝540（人）.学生有了这个基础,学习分数乘法应用题,思考方法一致,只是把整数乘除的方法转化为分数乘法.即
600÷10×9＝540（人）用分数表示
×9＝600×＝540（人）
这里,要求学生比较熟练地掌握求一个数的几（百）分之几是多少,用乘法计算的结论.
（3）已知一个数的几分之几或百分之几是多少,求这个数的除法应用题.
这是分数乘法的逆向题,也是学生容易与分数乘法相混淆的问题,新大纲规定在分数
四则计算的前面要学习简易方程,到这里用列方程解答,可避免乘、除法混淆.因此,要求学生运用求一个数的几分之几是多少,用乘法计算的思考方法去解题.例如,一根钢管的是48厘米,这根钢管长多少厘米?学生应思考：（钢管的长）×＝48（厘米）,设钢管长x米,即x×＝48或者x＝48,x＝192.
有些题目,既可以用上述方法解答,也可以根据已知的数量关系进行思考.如,一个工程队小时开凿山洞米,求1小时开凿山洞多少米.用上述方法解答,设1小时开凿山洞x米,列方程为：x×＝或x＝,解得x＝.也可以根据：
工作总量÷工作时间＝单位时间的工作量
所以,列式为：÷＝（米）
以上是分数、百分数应用题中最基础的内容,应该让学生理解并掌握.
二、能够运用所学的知识解决生活中一些简单的实际问题
新大纲中这个要求是小学阶段最后一个学期的要求,在分数、百分数应用题里也应该贯彻这个精神.根据最多不超过三步计算的限制,再按照实际生活中常见的分数问题、百分数问题,大致要求学生掌握以下几方面的实际问题.
1.求一个数比另一个数增加或减少百分之几的问题.
这类问题在生活和生产上经常要用到,例如,实际产量比计划生产量增产百分之几,或者本月用电比上月节约百分之几等等.要求学生根据求一个数是另一个数的百分之几的思考方法,先要求出增产（或节约）的数量,然后把它与计划生产的数量（或原来用电度数）相比.列式为：
（实际产量－计划产量）÷计划产量
或也可以先求出实际产量相当于计划产量的百分之几,再求增产百之几,列式为：
实际产量÷计划产量－100％＝增产的百分之几
这类问题有一个重要的概念,必须让学生掌握.学生在整数里已知5比3多2,3比5就必定少2.但是在分数、百分数里5比3多 ＝66.7％,反过来3却并不比5少66.7％,而是少 ＝40％,因为它们相比较的标准数量不同,所以,两个百分数是不等的.
2．求一个数增加（减少）它的几（百）分之几是多少的应用题以及这类问题的逆向问题.
例如,原有少先队员400人,现在增加12％,现在有队员多少人?这是求400增加它的12％以后是多少.要求学生能够用两种方法
400＋400×12％＝400＋48＝448（人）；
400×（1＋12％）＝448（人）.
这个应用题的逆向题是：现在有少先队员448,比原来增加了12％,原来有少先队员多少人?这是已知一个数增加了它的12％以后是448,要求这个数.应该使学生理解为原来的人数加上增加了它的12％的人数等于现在的人数. 设原来为x人, 那么
x＋12％x＝448, 1.12x＝448, x＝400.
3．工程问题.
这是有关工作总量、单位时间的工作量（通常叫做工作效率）和工作时间的问题.这三者之间的关系是：
工作时间＝工作总量÷单位时间的工作量
例如,“一项工程,由甲队修建需20天完成,由乙队修建需30天完成,两队合修需要多少天完成?”
要求学生知道把整个工程看作“1”,还要知道甲队每天可完成这项工程的,乙队每天可完成这项工程的,两队合修一天可以完成这项工程的（＋）,这是两队合修的工作效率,然后用工作总量除以工作效率,列式为：
1÷（＋）＝12（天）
工程问题的变化很多,可以一个人独做,也可以是几个人合做的；可以是几个人同时开始做的,也可以是有先有后做的；工作的进程可以是向前的,也可以是倒退的（如水管注水与放水）等等.但是,必须根据新大纲最多不超过三步计算的限制,在这个限度内适当有些变化.
三、能够有条理地说明解题思路
有条理地说明解题思路是要求培养学生有条有理、有根有据地说清楚自己是怎么思考的,决不是背诵一个模式,或者是思路说不清楚,颠三倒四,要让学生能够用自己的话表达清楚.这是培养逻辑思维能力的一个重要方面.
例如,发电厂有煤2500吨,用去,还剩多少吨?学生独自解答,可能出现以下两种解法：
①2500－2500× ； ②2500×（1－）
这时,让学生说明解题思路,第一种解法必然要说先求用去多少吨,再求剩下多少吨.第二种解法必然要说先求剩下的占总吨数的几分之几,再求这个几分之几是多少吨.上述第一种解法接近学生原有的认知结构,因为在整数应用题已知从总吨数中减去用掉的,就是剩下的.第二种解法是从问题出发分析出来的,是一种新的思路,而这种思路在分数应用题中常常用到,教师不仅赞赏,还应该让更多的学生学会这种思考方法.
此外,与解题思路有关的是文字题的数量关系,现举例说明如下：
①甲数是,乙数比甲数大 ,求乙数.
这里的是甲、乙两数相差的数值,所以,列式为：
②甲数是,乙数比甲数大它的,求乙数.
这里的是指甲数的一半,所以,列式为：
或者
×(1+)=
③比吨多,是多少吨?
这里的带有单位名称是具体的量,没有单位名称,它表示两个数的比,所以,列式为：
×（1+）=（吨）
④比吨多吨是多少吨?
列式为：+=（吨）
⑤甲数是200,乙数比甲数大20％,求乙数.
因为百分数表示两个数的比,所以,列式为：
200×（1＋20％）＝240