数列｛an｝的通项公式为an=2n+1,n为奇数,2^n,n为偶数,求此数列的前n项和Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 21:05:49
数列｛an｝的通项公式为an=2n+1,n为奇数,2^n,n为偶数,求此数列的前n项和Sn
数列｛an｝的通项公式为an=2n+1,n为奇数,2^n,n为偶数,求此数列的前n项和Sn
数列｛an｝的通项公式为an=2n+1,n为奇数,2^n,n为偶数,求此数列的前n项和Sn
解决此题一定要分情况讨论,即讨论n是奇数还是偶数.
我们可以将Sn分解成技术项和偶数项,分别进行求和.
an=2n+1 (n=1,3,5,7.),即3,7,11,15,19……
我们可以等效成bn=4n-1 (n=1,2,3,4,5……）
an=2^n (n=2,4,6,8.),即4,16,64,256……
我们可以等效成cn=4^n (n=1,2,3,4,5……）
这样,将一个没有固定求和公式的数列分解成两个有固定求和公式的数列.
现在开始讨论.
当n为奇数时,此数列的和为bn的前（n+1)/2项加上cn的前（n-1)/2项.
当n为偶数时,此数列的和为bn的前n/2项加上cn的前n/2项.
仔细想想是不是?
bn数列的求和公式易得：（3+4n-1)*n/2
当n取(n+1)/2时,Sn1=(n+2)(n+1)/2 当n取n/2时,Sn1=（n+1)n/2
cn数列的求和公式易得：4(4^n-1)/(4-1)
当n取(n-1)/2时,Sn2=2^(n-1) 当n取n/2时,Sn2=2^n
所以,当n为奇数时,Sn=2^(n-1)+(n+2)(n+1)/2
当n为偶数时,Sn=2^n+(n+1)n/2
怎么样,你能明白吗?如果发现不对就给我发消息.如果对了就可怜我点加点分吧.^_^
记n=2k-1时，bk=an=4k-1，前m项和Bm=2m^2 m，n=2k时，ck=an=4^k，前m项和Cm=4(4^m-1)/3。对于an全n项和Sn，作以下讨论：若n为奇，即n=2m-1，Sn=Bm C_(m-1)=2m^2 m (4^m-4)/3=[(n 1)^2]/2 (n 1)/2 [2^(n 1)-4]/3，若n=2m为偶，则Sn=Bm Cm=2m^2 m 4(4^m-1)/3=(n^2)/2 n/2 4(2^n-1)/3。