已知函数f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1),(1)求f(x)的值域,(2),求证,f(x)是定义域内的增函数,(3),判断f(X)的单调性,并证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 03:35:26
已知函数f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1),(1)求f(x)的值域,(2),求证,f(x)是定义域内的增函数,(3),判断f(X)的单调性,并证明.
已知函数f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1),(1)求f(x)的值域,(2),求证,f(x)是定义域内的增函数,(3),判断f(X)的单调性,并证明.
已知函数f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1),(1)求f(x)的值域,(2),求证,f(x)是定义域内的增函数,(3),判断f(X)的单调性,并证明.
f(x)=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
因为10^2x>0,所以分母不为0
所以定义域是R 在x->-∞时最小 f(x)->-1 x->+∞ 时最大 f(x)->1 所以值域为(-1,1)
令a>b
则f(a)-f(b)=1-2/(10^2a+1)-1+2/(10^2b+1)
=2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)
分母显然大于0
(10^2a+1)-(10^2b+1)=10^2a-10^2b
a>b,2a>2b
所以10^2a-10^2b>0
所以2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)>0
即a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)是定义域内的增函数
（1）令t=10^2x, t>0.f(x)=(t-1)/(t+1)=1-2/(t+1) 值域为（-1，1）
（2）f（x）可以看作复合函数f（t（x）），t（x）为增函数，f（t）为增函数，由复合函数的增减性可知为增函数。
设10^2x+1=t>1 则f(t)=(t-2)/t=1-2/t ①值域(-1，1) ②f'(t)=2/t∧2>0 因此单增 ③单增