已知x属于R,求函数f(x)=√y +4/√y的最小值,其中根号中的y=x^2+5谢谢,急用
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:55:44
已知x属于R,求函数f(x)=√y +4/√y的最小值,其中根号中的y=x^2+5谢谢,急用
已知x属于R,求函数f(x)=√y +4/√y的最小值,其中根号中的y=x^2+5
谢谢,急用
已知x属于R,求函数f(x)=√y +4/√y的最小值,其中根号中的y=x^2+5谢谢,急用
首先必须明确的是,这个题目有一个陷阱：诱使你利用重要不等式a+b≥2√ab
这是错误的,为什么?
由重要不等式求得f(x)=√y +4/√y≥2√4=4,所以最小值为4,是这样吗?
我们注意到,y=x^2+5,所以无论x取何值,y只能大于等于5,求得最小值为4,即√y +4/√y=4,解这个方程得到y=2!发现了么?y根本不可能取到这个值的,所以错误!
正确解法：求f(x)的导数：
f'(x)=(x^3+x)/(x^2+5)^(3/2)
当f'(x)=0时,(x^3+x)/(x^2+5)^(3/2)=0,由于分母恒大于0,则只有分子
x^3+x=0 -> x(x^2+1)=0 -> x=0.由于当x0,函数单调递增,所以当x=0时取得的值即为最小值,f(x)|min=
(9√5 )/5
以后在使用重要不等式的时候,都需要注意以上提到的问题.如果重要不等式能够得到正确的解,无疑相当方便快捷,但是如果不能用重要不等式的话,就需要求导了.
上面的朋友也……呵呵
正解
y ≥ 5
√y ≥ √5 ＞ 2时
√y +4/√y单调增，
所以：f（x)=√y +4/√y ≥ √5 +4/√5 = )=(9√5 )/5
错解（错因：没考虑取等条件）
因为y=x^2+5 且x属于R
所以y恒大于零
所以可以对f(x)=√y +4/√y 用重要不等式
f(x)=√y +4/√y≥2根号下√y ...
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正解
y ≥ 5
√y ≥ √5 ＞ 2时
√y +4/√y单调增，
所以：f（x)=√y +4/√y ≥ √5 +4/√5 = )=(9√5 )/5
错解（错因：没考虑取等条件）
因为y=x^2+5 且x属于R
所以y恒大于零
所以可以对f(x)=√y +4/√y 用重要不等式
f(x)=√y +4/√y≥2根号下√y 乘以4/√y=4
所以其最小值为4
收起
因为y=x^2+5 且x属于R
所以y恒大于零
所以可以对f(x)=√y +4/√y 用重要不等式
f(x)=√y +4/√y≥2根号下√y 乘以4/√y=4
所以其最小值为4
y ≥ 5
√y ≥ √5 ＞ 2时
√y +4/√y单调增，
所以：f（x)=√y +4/√y ≥ √5 +4/√5 = )=(9√5 )/5