函数f (x)=1-x^2 /1+x^2 ,则其值域为 这样的题该如何下手,

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 15:10:26
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函数f (x)=1-x^2 /1+x^2 ,则其值域为 这样的题该如何下手,
f(x)=(-x²-1+2)/(x²+1)
=〔-(x²+1)+2〕/(x²+1)
=-1+2/(x²+1)
因为x²+1>0,2/(x²+1)>0
所以f(x)>-1
值域为(-1,+∞)

因为:x1-x2

方法一:原式的表达式与可以看成是两点A,B间的斜率,

即f(x)=(y2-y1)/(x2-x1)

其中点A的坐标为(x1,y1),B的坐标为(x2,y2)

对比原式得

即B点的坐标为(1,1),A点的坐标为(-t^2,t^2)

由A点的坐标得Y=t^2            ① 

             X=-t^2          ②

将①和②式的参数方程化为Y=-X (其中Y≥0,X≤0),这个方程表示的就是一条斜率为-1的直线,且在第四象限内。

因此,原题求值域就变成了求点A(1,1)到直线y=-x(x≤0)上的点的斜率,如图,

看图可得出,斜率最大值为A点与原点的连线,值为1(x=0时),最小值为无限接近-1(x^2趋于无穷大时),所以f(x)的值域为(-1,1]

这样类似的题,关键是可以借助斜率的定义。当然,方法不唯一的。 

方法二:原式化为f(x)=-1+2/(1+x^2)

因为1+x^2≥1 所以2/(1+x^2)≤2

∴-1+2/(1+x^2)≤2-1=1

又∵2/(1+x^2)>0

所以-1+2/(1+x^2)>-1

因此原式f(x)的值域为(-1,1]