求直线的方程的 快 若直线l过点M（2,-3）,并且和x轴的正半轴、y轴的负半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,求当△ABO的面积最小时,直线l的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 02:05:36
求直线的方程的 快 若直线l过点M（2,-3）,并且和x轴的正半轴、y轴的负半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,求当△ABO的面积最小时,直线l的方程.
求直线的方程的 快
若直线l过点M（2,-3）,并且和x轴的正半轴、y轴的负半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,求当△ABO的面积最小时,直线l的方程.
求直线的方程的 快 若直线l过点M（2,-3）,并且和x轴的正半轴、y轴的负半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,求当△ABO的面积最小时,直线l的方程.
设斜率为k（k大于0）
AB点分别为（0,-3-2k）（2+3/k,0）
-3-2k小于0 2+3/k大于0
2s=（3+2k）（2+3/k）
2s=12+4k+9/k
4k+9/k大于等于12当且仅当k=6时取等号
y+3=1.5（x-2）
S=1/2OA*OB
由基本不等式知 当且仅当oa=ob时有最小面积
则斜率等于1 设方程y=x+b 过M（2，-3）
解得y=x-5
设直线为x/a+y/b=1(a,b不为零)
将（2，-3）代入
有1=2/a-3/b>=2√(2/a)*(-3/b)
1>=2√(2/a)*(-3/b) (仅当2/a=-3/b时，此不等式取等号)
ab>=-24 |ab|>=24
S△ABO=|ab/2|>=12
所以 S△ABO的最小值为12
此时2/a=-3/b=1/2
全部展开
设直线为x/a+y/b=1(a,b不为零)
将（2，-3）代入
有1=2/a-3/b>=2√(2/a)*(-3/b)
1>=2√(2/a)*(-3/b) (仅当2/a=-3/b时，此不等式取等号)
ab>=-24 |ab|>=24
S△ABO=|ab/2|>=12
所以 S△ABO的最小值为12
此时2/a=-3/b=1/2
解得a=4,b=-6
可以求出直线为x/4+y/(-6)=1
化简为3x-2y-12=0
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还有一种解法
△ABO的面积最小可能为0
即直线l过原点
则直线l的方程为3x+2y+12=0
假设A(a,0) B(0,-b) (a,b>0) 那么△ABO的面积就是ab/2
那么l的方程是x/a-y/b=1
l过M(2,-3) 代入有2/a+3/b=1
利用基本不等式（平均值不等式）：
1=2/a+3/b≥2√（(2/a)*(3/b）)=2√（6/ab)
化简一下就有ab≥24
那么最小的面积就是ab/2=12
等号成...
全部展开
假设A(a,0) B(0,-b) (a,b>0) 那么△ABO的面积就是ab/2
那么l的方程是x/a-y/b=1
l过M(2,-3) 代入有2/a+3/b=1
利用基本不等式（平均值不等式）：
1=2/a+3/b≥2√（(2/a)*(3/b）)=2√（6/ab)
化简一下就有ab≥24
那么最小的面积就是ab/2=12
等号成立的条件是2/a=3/b，又2/a+3/b=1
联立解得a=4 b=6
所以l的方程是x/4-y/6=1 就是3x-2y-12=0
基本不等式：
x^2-2xy+y^2=(x-y)^2>=0 （^代表次方）
这是一个恒等式
所以你可以用这个等式 令x=2/a y=3/b就可以了
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