已知关于x的函数的表达式是2和log3(x)的和,x∈[1,3]求y=[f(x)]的平方和f(x的平方的)的和的值域
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 17:33:02
已知关于x的函数的表达式是2和log3(x)的和,x∈[1,3]求y=[f(x)]的平方和f(x的平方的)的和的值域
已知关于x的函数的表达式是2和log3(x)的和,x∈[1,3]求y=[f(x)]的平方和f(x的平方的)的和的值域
已知关于x的函数的表达式是2和log3(x)的和,x∈[1,3]求y=[f(x)]的平方和f(x的平方的)的和的值域
本题目的关键就是确定所求函数的定义域
要注意到时1
y1=f(x)=2+log3(x)
y=[f(x)]^2+f(x^2)
=[2+log3(x)]^2+[2+log3(x^2)]
=4+4log3(x)+[log3(x)]^2+2+2log3(x)
=[log3(x)]^2+6log3(x)+6
=[log3(x)+3]^2-3
x∈[1,3]log3(1)=0时,y=6,log3(3)=1
y=4^2-3=13
13≥y≥6
f(x)=2+log3(x)，则：
y=[f(x)]^2+f(x^2)
=[2+log3(x)]^2+[2+log3(x^2)]
=4+4log3(x)+[log3(x)]^2+2+2log3(x)
=[log3(x)]^2+6log3(x)+6
=[log3(x)+3]^2-3。
令t=log3(x)，则：x∈[1，3]，t∈[0，...
全部展开
f(x)=2+log3(x)，则：
y=[f(x)]^2+f(x^2)
=[2+log3(x)]^2+[2+log3(x^2)]
=4+4log3(x)+[log3(x)]^2+2+2log3(x)
=[log3(x)]^2+6log3(x)+6
=[log3(x)+3]^2-3。
令t=log3(x)，则：x∈[1，3]，t∈[0，1]，
上函数化为：
y=f(t)=(t+3)^2-3，是关于t的二次函数，对称轴为：t=-3，开口向上，
所以函数在[-3，+无穷）上单调递增，
所以函数f(t)在区间[0，1]上的最小值为：f(0)=3，最大值为：f(1)=13。
所以f(t)∈[6，13]，即函数y=[f(x)]^2+f(x^2)的值域为：[6，13]。
收起
令t=log3(x)，t∈[0,1]
y=(2+t)^2+2+2t
=t^2+6t+6
=(t+3)^2-3
所以：y∈[6,13]