已知函数f(x)=f'(1)e^x-1-f(0)x+½x²若f（x）≥（1/2）x²+ax+b,求（a+1）b的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:26:40
已知函数f(x)=f'(1)e^x-1-f(0)x+½x²若f（x）≥（1/2）x²+ax+b,求（a+1）b的最大值
已知函数f(x)=f'(1)e^x-1-f(0)x+½x²
若f（x）≥（1/2）x²+ax+b,求（a+1）b的最大值
已知函数f(x)=f'(1)e^x-1-f(0)x+½x²若f（x）≥（1/2）x²+ax+b,求（a+1）b的最大值
f(x)=f'(1)e^x-1-f(0)x+½x²
因为f（x）≥（1/2）x²+ax+b
f'(1)e^x-1-f(0)x+½x²≥（1/2）x²+ax+b
整理得：f'(1)e^x-1-f(0)x≥ax+b
即：ax+b
f(x)=f′(1)e^(x-1)-f(0)x+1/2x^2中，令x=0的f'(1)=ef(0)
所以f(x)=f(0)e^x-f(0)x+1/2x^2
关于x求导得：f'(x)=f(0)e^x-f(0)+x
故f'(1)=f(0)e-f(0)+1=ef(0)解得f(0)=1
所以f(x)=e^x - x + 1/2 x^2
f'(x)=e^x...
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f(x)=f′(1)e^(x-1)-f(0)x+1/2x^2中，令x=0的f'(1)=ef(0)
所以f(x)=f(0)e^x-f(0)x+1/2x^2
关于x求导得：f'(x)=f(0)e^x-f(0)+x
故f'(1)=f(0)e-f(0)+1=ef(0)解得f(0)=1
所以f(x)=e^x - x + 1/2 x^2
f'(x)=e^x-1+x
当x>0时，f'(x)>0,函数单调增加
当x<=0时，f'(x)<=0,函数单调减少。
所以单调增区间是(0,正无穷），单调减区间是(负无穷，0]
f(x)=e^x - x + 1/2 x^2≥1/2x^2+ax+b即 e^x >=(a+1)x +b成立
(a+1)b的最大值，我们考虑(a+1),b同号时的情况。不妨设a+1>0,b>0
则e^x >=(a+1)x +b中，令x=1得a+1+b<=1
从而(a+1)b <=[(a+1)+b]^2 /4=1/4
即(a+1)b的最大值=1/4
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