设a>b>c,且1/(a-b)+1/(b-c)≥m/(a-c)恒成立,求m的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 09:50:48
设a>b>c,且1/(a-b)+1/(b-c)≥m/(a-c)恒成立,求m的取值范围设a>b>c,且1/(a-b)+1/(b-c)≥m/(a-c)恒成立,求m的取值范围设a>b>c,且1/(a-b)+

设a>b>c,且1/(a-b)+1/(b-c)≥m/(a-c)恒成立,求m的取值范围
设a>b>c,且1/(a-b)+1/(b-c)≥m/(a-c)恒成立,求m的取值范围

设a>b>c,且1/(a-b)+1/(b-c)≥m/(a-c)恒成立,求m的取值范围
1/(a-b)+1/(b-c)≥m/(a-c) (两边同时乘以a-c)
<==>(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)≥m
<==>只需求得左边的取值范围(或最小值)即可
左边=(a-b+b-c)/(a-b)+(a-b+b-c)/(b-c)
=1+(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)+1
=2+(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)
≥2+2sqrt[(b-c)/(a-b)]*[(a-b)/(b-c)](sqrt是开平方,用到均值不等式)
=4
所以4≥m

容易证明,1/x+1/y≥4/(x+y) ;(直接乘过去就可以看出来,取等号当且仅当x=y)
则1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-b+b-c) ;
所以要题目中的等式成立,m必须要不大于4 ;
即4≥m