a,b,c 是奇数,求证一元二次方程ax^2+bx+c=0无有理根
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 20:03:42
a,b,c 是奇数,求证一元二次方程ax^2+bx+c=0无有理根
a,b,c 是奇数,求证一元二次方程ax^2+bx+c=0无有理根
a,b,c 是奇数,求证一元二次方程ax^2+bx+c=0无有理根
即 需要证明此方程的判别式 △=b²-4ac不是完全平方数
显然 △=b²-4ac为奇数
反证法 设 △=b²-4ac=m² m也为奇数 b²-m²=4ac
设m=2n-1 （n为自然数）
m²=4n²-4n+1=4 n(n-1) +1 其中n和n-1是连续的两个自然数（或0） 其中必有一个是2的倍数 所以m²是8的倍数余1.同理,b²也是8的倍数余1
所以 b²-m²=4ac中,左边 是8的倍数,右边4ac只能是4的倍数,矛盾
所以 △=b²-4ac不是完全平方数
原方程无有理根
两根之和为-b/a,两根之积为c/a。两根之积为c/a，分子为奇数，若存在有理根，则两根之和的分子应为偶数，与已知矛盾，则一元二次方程ax^2+bx+c=0无有理根
设a=1,b=5,c=3
判定公式为 b^2-4ac=25-16=9>0
所以不成立
这就是证明
b² - 4ac 小于0或者无法不可能表示为d²呗
小于0的情况就不说了，就是无解
这个是不可能为0的，因为b²是奇数， 4ac是偶数
大于0的情况：
假设 b² - 4ac = d²， 则d²必定是奇数， d也必定是奇数, 且b > d
则b² - d² =...
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这就是证明
b² - 4ac 小于0或者无法不可能表示为d²呗
小于0的情况就不说了，就是无解
这个是不可能为0的，因为b²是奇数， 4ac是偶数
大于0的情况：
假设 b² - 4ac = d²， 则d²必定是奇数， d也必定是奇数, 且b > d
则b² - d² = 4ac
(b+d)(b-d)=4ac
（这个时候，只要证明a 或 c必定有一个是偶数，那么假设就不成立。）
假设b+d = 2x1, b - d = 2x2
则b = x1 + x2, d = x1 - x2;
要满足b和d同时为奇数，则x1 、x2 必定有一个是偶数。
则 a、c必定有一个是偶数。与题设不符。故假设不成立。
因此一元二次方程ax^2+bx+c=0无有理根
收起
求证不成立