已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0）,右顶点为（√3,0）,若直线L：y=kx+√2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA*OB>2(O为原点,OA OB为向量),着k的取值范围是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/18 20:55:53
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0）,右顶点为（√3,0）,若直线L：y=kx+√2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA*OB>2(O为原点,OA OB为向量),着k的取值范围是多少?
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0）,右顶点为（√3,0）,若直线L：y=kx+√2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA*OB>2(O为原点,OA OB为向量),着k的取值范围是多少?
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0）,右顶点为（√3,0）,若直线L：y=kx+√2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA*OB>2(O为原点,OA OB为向量),着k的取值范围是多少?
在双曲线中,a＝√3,c＝2,
所以,b^=4-3=1,
双曲线方程是：x^2/3-y^2=1,
即：x^2-3y^2=3.①
将y=kx+√2代入①,得
(1-3k^2)x^2-6√2kx-9=0(1-3k^≠0),
其判别式Δ=(-6√2k)^2-4(1-3k^2)(-9)＞0,
∴k^2＜1,k≠±√3/3.②
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=6√2k/(1-3k^2),x1x2=-9/(1-3k^2),
∴y1y2=(kx1+√2)(kx2+√2)
=k^2(x1x2)+√2k(x1+x2)+2
=k^2[-9/(1-3k^2)]+√2k*6√2k/(1-3k^2)+2
=(2-3k^2)/(1+3k^2).
条件OA*OB>2,得x1x2+y1y2>2,
即有：-9/(1-3k^2)+(2-3k^2)/(1-3k^2)＞2.
整理得：1/3＜k^2＜3.③
由②③得：1/3＜k^2＜1.
∴-1＜k＜-√3／3,或√3／3＜k＜1.
上面的回答很好没有补充的。
在双曲线中，a＝√3，c＝2，
所以，b^=4-3=1,
双曲线方程是x^2-3y^2=3.......................①
将y=kx+√2代入①，
Δ=(-6√2k)^2-4(1-3k^2)(-9)＞0,
∴k^2＜1,k≠±√3/3........................②
设A(x1,y1),B(x2,y2),...
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在双曲线中，a＝√3，c＝2，
所以，b^=4-3=1,
双曲线方程是x^2-3y^2=3.......................①
将y=kx+√2代入①，
Δ=(-6√2k)^2-4(1-3k^2)(-9)＞0,
∴k^2＜1,k≠±√3/3........................②
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=6√2k/(1-3k^2),x1x2=-9/(1-3k^2),
∴y1y2=(kx1+√2)OA*OB>2，得x1x2+y1y2>2,
即有：-9/(1-3k^2)+(2-3k^2)/(1-3k^2)＞2.
整理得：1/3＜k^2＜3...........................③
由②③得：1/3＜k^2＜1.
∴-1＜k＜-√3／3，或√3／3＜k＜1.(kx2+√2)
=(2-3k^2)/(1+3k^2).
第一个太多过程了，这样才简便的分
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