求解两道基础的线性代数题请看插图刚学这些东西,还不熟悉,请指教
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 03:20:38
求解两道基础的线性代数题请看插图刚学这些东西,还不熟悉,请指教
求解两道基础的线性代数题
请看插图
刚学这些东西,还不熟悉,请指教
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Exercise2.
1.只需证Ve和Vo对运算封闭
设 f(x),g(x)∈Ve
则 f(-x) = f(x),g(-x)=g(x)
所以对 h(x)=f(x)+g(x) 有
h(-x) = f(-x)+g(-x) = f(x)+g(x) = h(x)
即 h(x)=f(x)+g(x) ∈Ve.
对任意k∈R,(kf)(-x) = kf(-x)=kf(x)
所以 kf(x)∈Ve
所以 Ve 为 R^R 的子空间
同理可证 Vo 是 R^R 的子空间.
2.对任意 f(x)∈V
f(x) = (1/2)[f(x)+f(-x)] + (1/2)[f(x)-f(-x)]
而 (1/2)[f(x)+f(-x)]∈Ve
(1/2)[f(x)-f(-x)]∈Vo
所以 Ve+Vo = V.
3.设 f(x)∈Ve ∩ Vo
则 f(x) = f(-x) = -f(x)
所以 f(x) = 0.
所以 Ve⊕Vo = V.
4.f(x)=e^x = (e^x+e^(-x))/2 + (e^x-e^(-x))/2
Excise3.
1.V 中共有8个向量,其子空间作为加法群是V的子群
所以子空间中向量的个数是8的因子 [拉格朗日定理]
即V的子空间中元素个数只能是 1,2,4 或 8 个.
2.V1={(0,0,0)}
V2={(0,0,0),(1,0,0)}
V3={(0,0,0),(0,1,0)}
V4={(0,0,0),(0,0,1)}
V5={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)}
V6={(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,0,1)}
V7={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)}
V8={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}
3.x1+x2 = 0
x2+x3 = 0
x1+ x3 = 0